突破4.6 重难点之求数列的前n项和重难点突破-【新教材优创】突破满分数学之2020-2021学年高二数学重难点突破（人教A版2019选择性必修第二册）

突破4.6 重难点之求数列的前n项和 一、考情分析 二、考点梳理与题型分析 考点一、公式法 例1．（2021·全国高二课时练习）已知数列 的通项公式 ，则数列 的前5项和 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据等比数列的求和公式，以及分组求和的方法，即可求出结果. 【详解】因为 ， 所以则数列 的前5项和 . 故选：C 【变式训练1-1】．（2021·全国高二课时练习）已知数列 满足 ， ， ， 是等比数列，则数列 的前8项和 （ ） A．376 B．382 C．749 D．766 【答案】C 【分析】 利用累加法求出通项 ，然后利用等比数列的求和公式和分组求和法，求解 即可 【详解】 由已知得， ， ，而 是等比数列，故 ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，化简得 ， EMBED Equation.DSMT4 故选：C 【点睛】 关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项. 例2.（2021·广东高三专题练习）已知各项均不相等的等差数列 的前 项和为 ，且 是等比数列 的前 项. （1）求 ， ； （2）设 ，求 的前 项和 . 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）设数列 的公差为 ，由题意列关于首项与公差的方程，联立求得首项与公差，则 ， 可求； （2）把（1）中求得的通项公式代入 ，分组后利用等比数列前n项和与裂项相消法求解数列 的前 项和. 【详解】 解：（1）设数列 的公差为 ， 由题意， ，① 又∵ 成等比数列，∴ ， 即 ，得 ，② 联立①②可得， ∴ ， ； （2）∵ ， ∴ ＝ . ∴数列 的前 项和 为 . 【点睛】 本题考查等差等比数列基本量的计算，等比数列求和公式，裂项求和，分组求和法等，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于先根据分组求和，转化为等比数列的和与 的和，进而利用裂项求和求解. 【变式训练2-1】．（2021·安徽高三月考（理））设等比数列 的前 项和为 ，已知 ，且 ， ， 成等差数列. （1）求数列 的通项公式； （2）设数列 满足 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）利用基本量代换求出首项和公比，写出通项公式； （2）利用 把 化为 ，利用裂项相消法求和. 【详解】 解析（1）设等比数列 的公比是 ，由 得 ， 解得 . ∵ ， ， 成等差数列，∴ ，解得 . ∴ . （2）∵数列 是以1为首项，以3为公比的等比数列， ∴ . ∵ ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 . 【点睛】 (1) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质； (2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法． 【变式训练2-2】．（2019·江西省分宜中学（文））已知等比数列 的前 项和为 ，且 对一切正整数 恒成立. （1）求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 . 【答案】（1） （2） EMBED Equation.DSMT4 【分析】 （1）利用 即可求出数列 的通项公式；（2）根据 易得 通项公式，再分组求和即可。 【详解】 （1）当 时， 与 两式相减得 . ∵数列是等比数列，∴公比 ， . 又 ，∴ ， ∴ （2）∵由 得 ， ∴ 【点睛】 此题考查通项公式和前n项和的关系求通项以及分组求和知识点，属于简单题目。 考点二、裂项相消法 例3．（2021·四川成都市·高三二模（文））已知数列 的前 项和 满足 ，记数列 的前 项和为 ， ．则使得 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据 求 通项公式，注意讨论 、 并判断是否可合并，再应用裂项法求 ，可得选项. 【详解】 当 时， ；当 时， ；而 也符合 ， ∴ ， .又 ， ∴ ， 所以 ， 故选：C. 【点睛】 结论点睛：裂项相消法求数列和的常见类型： （1）等差型 ，其中 是公差为 的等差数列； （2）无理型 ； （3）指数型 ； （4）对数型 . 【变式训练3-1】．（2020·平罗中学高二月考）已知数列 的通项公式： ，则它的前 项和是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用裂项相消法可求得结果. 【详解】 ， 其前 项和 . 故选：B. 【点睛】 方法点睛：本题重点考查了裂项相消法求解数列的前 项和的问题，裂项相消法适用于通项公式为 形式的数列，即 ，进而前后相消求得结果. 【变式训练3-2】．（2021·全国高三专题练习（理））已知正项数列 的前 项和为 ，且