突破4.5 重难点之求数列的通项公式重难点突破-【新教材优创】突破满分数学之2020-2021学年高二数学重难点突破（人教A版2019选择性必修第二册）

突破4.5 重难点之求数列的通项公式 一、考情分析 二、考点梳理与题型分析 考点一、公式法 例1．（2021·安徽高三月考（理））设等比数列 的前 项和为 ，已知 ，且 ， ， 成等差数列. （1）求数列 的通项公式； （2）设数列 满足 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）利用基本量代换求出首项和公比，写出通项公式； （2）利用 把 化为 ，利用裂项相消法求和. 【详解】 解析（1）设等比数列 的公比是 ，由 得 ， 解得 . ∵ ， ， 成等差数列，∴ ，解得 . ∴ . （2）∵数列 是以1为首项，以3为公比的等比数列， ∴ . ∵ ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 . 【点睛】 (1) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质； (2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法． 【变式训练1-1】．（2020·泰州市第二中学高二月考）在等差数列 中，已知 ，则该数列第 项 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据等差数列下标和的性质得 ，即可求出答案. 【详解】 因为数列 是等差数列，由等差数列的性质得 ，所以 . 故选：B 考点二、累加法与累乘法 例2．（2021·全国高二课时练习）（1）已知数列{an}满足 ， ，n∈N*，求数列的通项公式an. （2）在数列{an}中，a1=1， (n≥2)，求数列{an}的通项公式. 【答案】（1） ；（2）an= . 【分析】 （1）先将递推公式化为 ，再利用累加法求通项公式; （2）先将递推公式化为 ，再利用累乘法求通项公式. 【详解】 （1） EMBED Equation.DSMT4 ， ， 将以上 个式子相加， 得 ， 即 . . 又当n=1时， 也符合上式， . （2）因为a1=1， (n≥2)，所以 ， 所以 ·…· ·1= . 又因为当n=1时，a1=1，符合上式， 所以an= . 【变式训练2-1】．（2021·全国高三专题练习）设数列 满足 ， . （1）求数列 的通项公式; （2）令 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） ， ；（2） ， . 【分析】 （1）利用累加法求通项公式； （2）利用错位相减法以及等比数列求和公式即可得出 . 【详解】 （1）由已知，当 时， ， 当 时， 符合上式， ， . （2）由（1）知 ， ① EMBED Equation.DSMT4 ② ①-②得 EMBED Equation.DSMT4 所以， ， . 考点三、已知前n项和，求通项公式 例3．（2020·扬州市第一中学高二月考）已知数列 的前 项和为 . （1）求出 的通项公式； （2）求数列 前n项和最小时n的取值 【答案】（1） ；（2）当 或 时，数列 前n项和取得最小值. 【分析】 （1）根据 ，分别讨论 ， 两种情况，根据 与 的关系即可求出结果； （2）根据等差数列前 项和的函数特征，即可得出结果. 【详解】 （1）因为 ， 所以当 时， ； 当 时， ； 显然 是，也满足 ， 所以 ； (2) 因为 ， 所以数列 为等差数列，其前n项和 又 ，所以当 或 时， 取得最小值. 【变式训练3-1】．（2021·全国高三专题练习（理））已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）令 ，记数列 的前 项和为 ，证明： ． 【答案】（1） ；（2）证明见解析． 【分析】 （1）当 时可求得 ；当 时，利用 可证得数列 为等比数列，利用等比数列通项公式可求得结果； （2）根据（1）的结论可得 ，采用裂项相消法可求得 ，由 可推导出所证结论. 【详解】 （1）当 时，有 ，解得： ， 当 时，有 ，则 ， 整理得： ， 数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， ； 验证可知： 满足 ， （2）由（1）知： ， 设 ， ， ， ， ，即 . 【点睛】 方法点睛：本题重点考查了裂项相消法求解数列的前 项和的问题，裂项相消法适用于通项公式为 形式的数列，即 ，进而前后相消求得结果. 例4．（2021·山东德州市·高三一模）已知数列 满足 ． （1）求数列 的通项公式； （2）设数列 的前 项和为 ，证明： ． 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【分析】 （1）得到当 时， ，然后与原式联立，可得 ，然后验证 是否满足即可. （2）根据（1）中条件可得 ，然后使用裂项相消求和并简单判断即可. 【详解】 （1）由题意： ① 当 时， ② ①－②得 ，即 ， 当 时， 满足上式， 所以 ． （2）因为 ， 所以 ， 所以 又 ，所以 ． 【变式训练4-1】．（2021·内蒙古赤峰市·高三月考（理））已知数