突破4.4 数学归纳法重难点突破-【新教材优创】突破满分数学之2020-2021学年高二数学重难点突破（人教A版2019选择性必修第二册）

突破4.4 数学归纳法 一、考情分析 二、考点梳理 知识点一 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法. 知识点二 数学归纳法的框图表示 【知识必备】 1.应用数学归纳法证明数学命题时初始值n0不一定是1，要根据题目条件或具体问题确定初始值. 2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则就不是数学归纳法. 3.解“归纳——猜想——证明”问题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础. 三、题型分析 例1．用数学归纳法证明 时，第一步应验证不等式（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据数学归纳法可知，首先验证 时对应的不等式. 【详解】 因为用数学归纳法证明 ， 所以第一步先验证，当 时， 不等式 是否成立. 故选：C 【变式训练 1-1】．用数学归纳法证明不等式： ，从 到 ，不等式左边需要（ ） A．增加一项 B．增加两项 、 C．增加 ，且减少一项 D．增加 、 ，且减少一项 【答案】D 【分析】 理解数学归纳法 到 步骤，结合不等式的差异确定增减项即可. 【详解】 由数学归纳法知：若 时，不等式成立，则有： 成立， 那么 时，有： ， ∴ ， 综上知：不等式左边需要增加 、 ，且减少一项 故选：D 【变式训练 1-2】．用数学归纳法证明 ，且 时，第一步应验证的不等式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 直接利用数学归纳法写出 时左边的表达式即可. 【详解】 解：用数学归纳法证明 ，且 时，时，第一步应验证不等式为： . 故选： . 【点睛】 在数学归纳法中，第一步是论证 时结论是否成立，此时一定要分析不等式左边的项，不能多写也不能少写，否则会引起答案的错误，属于基础题. 例2．已知数列 的前 项和 ，满足 ，且 ． （1）求 、 、 ； （2）猜思 的通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】（1） ， ， ；（2）猜想 ， ，证明见解析． 【分析】 （1）分别令 、 、 ，可求得 、 、 的值； （2）根据（1）猜想得出 ， ，由 可知当 猜想成立，假设当 时猜想成立，可得出 ，可得出当 时，由 整理得出 ，解出 即可得出结论成立. 【详解】 （1）对任意的 ， ，且 ． 当 时， ，整理得 ，且 ，所以 ； 当 时， ，整理得 ，且 ，所以 ； 当 时， ，整理得 ，且 ，所以 ； （2）由（1）猜想 ， ， 下面用数学归纳法加以证明： ①当 时，由（1）知 成立； ②假设当 时， 成立． 当 时， ， 所以 ，且 ， 所以 ，即当 时猜想也成立． 综上可知，猜想对一切 都成立． 【点睛】 思路点睛：“归纳——猜想——证明”的一般环节： （1）计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的前题； （2）归纳、猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般的结论； （3）证明：对一般结论利用数学归纳法进行证明. 【变式训练 2-1】．在数列 中， （1）求出 并猜想 的通项公式； （2）用数学归纳方证明你的猜想. 【答案】（1） ； ；（2）见详解 【分析】 （1）先根据递推关系，依次求得 的值，并猜想通项公式为 ； （2）根据数学归纳法证明的过程，对猜想进行证明即可. 【详解】 解：(1) ∵ ， ∴ 因此可猜想: EMBED Equation.DSMT4 ； (2)当 时， ，等式成立， 假设 时，等式成立，即 ， 则当 时， ， 即当 时，等式也成立， 综上所述，对任意自然数 ， . 【点睛】 方法点睛：用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项：①明确初始值 并验证真假；②“假设 时命题正确”并写出命题形式；③分析“ 时”命题是什么，并找出与“ ”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项；④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设. 【变式训练 2-2】．已知正项数列 满足 ， ． （1）求数列 的通项公式； （2）令 ，记数列 的前 项和为 ，求证： ． 【答案】（1） ， ；（2）证明见解析. 【分析】 （1）求出 ，归纳出 ，用数学归纳法证明； （2）变形 ，并结合基本不等式得 ，由此得 EMBED Equation.DSMT4 ， 从1开始的 个式子相加可得结论． 【详解】 （1）由题可得， ， ， ，从而猜想 ．用数学归纳法证明如下： ①当 时，有 ，猜想成立；②假设当 时猜