2021届河北省唐山市二模数学试卷及答案

唐山市2021年普通高等学校招生统一考试第二次模拟演练 数学参考答案 一．选择题： 1~4．CABD 5~8．DBCD 9．BD 10．ACD 11．CD 12．ABC 二．填空题： 13．； 14．； 15．y＝tanx，或y＝x－或y＝等； 16．＋2． 17．解： （1）设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋， …2分 所以S4＝4a1＋6d＝24；S10＝10a1＋45d＝120， 解得a1＝3，d＝2． …4分 故Sn＝3n＋n2－n＝n2＋2n． …5分 （2）＝＝(－)， …7分 所以Tn＝＋＋＋……＋ ＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)] ＝(1＋－－) …9分 ＜(1＋) ＝． …10分 18．解： （1）＝＝18.25， …3分 ＝－＝70.6375－0.25×18.25＝70.6375－4.5625＝66.075． …6分 （2）2020年对应的年份代码t＝43， …7分 M1＝＋t＝66.075＋0.25×43＝66.075＋10.75＝76.825≈76.83． …10分 从散点图的发展趋势可以得出：随着年份代码增加，人口平均预期寿命提高的越快． 因此，估计M1＜M． …12分 19．解： （1）由EF∥AD，AD＝2EF，可知延长AF，DE交于一点设为P．过P点作AB的平行线即为l，l∥AB，理由如下 …1分 由题意可知AB∥CD，AB平面CDE，CD平面CDE，则AB∥平面CDE． 又AB平面ABF，平面ABF∩平面CDE＝l，则l∥AB． …5分 ( A B C D E F P l x y z O ) （2）法一． 由底面ABCD为正方形，且平面ADEF⊥平面ABCD，得AB⊥平面ADEF， 由（1）可知l∥AB，则l⊥平面ADEF，所以∠APD即为平面ABF与平面CDE所成二面角的平面角． …9分 由EF∥AD，AD＝2EF，DE＝1，AF＝，得DP＝2，AP＝2，又AD＝4，则 AD2＝DP2＋AP2，所以∠APD ＝90°． 所以，平面ABF与平面CDE所成二面角的大小为90°． …12分 法二．由EF∥AD，AD＝2EF，DE＝1，AF＝，得DP＝2，AP＝2，又AD＝4，则AD2＝DP2＋AP2，所以∠APD＝90°， …7分 由题意可知，P点向平面ABCD引垂线，垂足落在AD上，设为O，则OD＝1． 以O为原点，以,的方向分别为y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz． A(0，－3，0)，B(4，－3，0)，P(0，0，)，则＝(4，0，0)，＝(0，3，)，设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)， 由·m＝0，·m＝0得 可取m＝(0，1，－)， …9分 D(0，1，0)，C(4，1，0)，则＝(4，0，0)，＝(0，－1，)， 设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，同理可得n＝(0，，1)， …11分 因为m·n＝0，所以平面PAB⊥平面PCD，即平面ABF⊥平面CDE， 所以，平面ABF与平面CDE所成二面角的大小为90°． …12分 20．解： （1）依题意S△ABC＝absinC＝c·＝2，可得c＝4， 因为C＝，所以ab＝8． …3分 由余弦定理得a2＋b2－ab＝c2， 因此(a＋b)2＝c2＋3ab＝40， …5分 即a＋b＝2． 故△ABC的周长为2＋4． …6分 （2）由（1）及正弦定理可得 ＋＝＝＝， …8分 ＝＝，(其中θ为锐角，且sinθ＝) …10分 由题意可知0＜A＜， 因此，当A＋θ＝时，＋取得最大值． …12分 21．解： （1）f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)＝－1． …1分 0＜x＜1时，f(x)＞0；x＞1时，f(x)＜0， 所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)单调递减． …3分 即x＝1时，f(x)取得最大值f(1)＝a－1， 依题意，a－1≤0，故a≤1． …5分 （2）由（1）知，a＞1，0＜m＜1＜n，ea－1＝＝． 所以2ea－1－(m＋)＝－(m＋)＝； 2ea－1－(n＋)＝－(n＋)＝． …8分 令g(x)＝2ex－1 －x2－1，则g(x)＝2ex－1 －2x， 由（1）知，lnx≤x－1，等号当且仅当x＝1时成立， 所以ex－1≥x，等号当且仅当x＝1时成立， 于是可得g(x)≥0，即g(x)单调递增， 因此，当0＜x＜1时，g(x)＜g(1)＝0；当x＞1时，g(x)＞g(1)＝0， …11分 所以2ea－1－(n＋)＞0，2ea－1－(m＋)＜0， 故n＋＜2ea－1＜m＋． …12分 22．解： （1）由题设得P(3，t)，A(－a，0)，B(0，－1)． …1分 则＝(a＋3，t)，＝(3，1＋t)． 所以·＝9＋3a＋t2＋