期中复习专项训练（六）解三角形大题（周长最值问题）-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册

期中复习专练（六）—解三角形大题（周长最值问题） 1．在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答． 已知 的角 ， ， 对边分别为 ， ， ， ，且 _______． （1）求 ； （2）求 周长的最大值． 解：（1）若选①：由正弦定理得 ， 即： ， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ． 若选②：由正弦定理得 ， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ． 若选③：因为 ， 所以 ，即 ， 所以 ， 因为 ，所以 ； （2）由（1）可知： ，在 中，由余弦定理得 ，即 ， 所以 ，所以 ，当且仅当 时等号成立， 所以 ，即 周长的最大值为 ． 又因为 ， 所以 周长的取值范围为 ， ． 2．在 中， ， ， 分别是角 ， ， 所对的边，已知 ， ， ，且 ． （1）求角 的大小； （2）若 的面积为 ，求 的值． （3）求 周长的取值范围． 解：（1）由 ， ，且 ， 得 ， ； 又 ， ； （2）由余弦定理得 ， 即 ， ； 又 的面积为 ， ， ， ． （3）由（1）知 ， ，则 ， ， ， ， ； ， 又 ， ， ， ， ， ， 周长的取值范围 ， ． 3．在锐角三角形 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边，且 ． （1）求角 ； （2）若 ，求 的周长 的取值范围． 解：（1）由 及正弦定理得 ， 整理得 ， 由余弦定理得 ， 由 为三角形内角得 ； （2）因为 ， 由正弦定理得 ， 故 ， ， 因为 ， 解得 ， 所以 ， ， 故 ， ． 4．已知 ， ． （1）求 的值． （2）若在锐角 中， ， ，求 的周长的取值范围． 解：（1） ， 因为 ．所以 ． 所以 或 或 ， 所以 或 或 ． （2）由（1）得 ， ， 所以 ， 所以 ， ， 又 ，所以 ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 即 ， 所以 的周长的取值范围是 ， ． 5． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．已知 ． （1）求 ； （2）若 的外接圆半径为 ，当 的周长最大时，求它的面积． 解：（1）因为 ， 所以 ， 可得 ， 可得： ， 可得 ， 由正弦定理可得： ， 可得 ， 因为 ， 所以 ． （2）因为 的外接圆半径为 ， ，由 ，可得 ， 所以由余弦定理知， ，当且仅当 时，等号成立， 所以 ，此时 的周长最大值为 ， ， 所以 的面