解答题 专题5 解析几何-2016-2020五年高考理科数学真题分类【区块练】课件PPT

第三部分 专题5 解析几何 数学(理)区块练—高考真题分类2016-2020 专题5 解析几何 第三部分 专题5 解析几何 数学(理)区块练—高考真题分类2016-2020 1.[2020·新高考全国Ⅰ·22]已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(2),2)，且过点A(2，1). (1)求C的方程； (2)点M，N在C上，且AM⊥AN, AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值. 第三部分 专题5 解析几何 数学(理)区块练—高考真题分类2016-2020 【考查目标】　本题主要考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系以及圆锥曲线中的定点、定值问题，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理等. 第三部分 专题5 解析几何 数学(理)区块练—高考真题分类2016-2020 【解题思路】　(1)由题意求得a2，b2，即可确定椭圆方程.(2)首先分直线MN的斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋m，联立直线与椭圆的方程，结合eq \o(AM,\s\up6(→))·eq \o(AN,\s\up6(→))＝0及根与系数的关系，求得直线MN的方程为y＝k(x－eq \f(2,3))－eq \f(1,3)(k≠1)，当斜率不存在时，可求得直线MN的方程为x＝eq \f(2,3)，所以由以上两种情况可知直线MN恒过定点P(eq \f(2,3)，－eq \f(1,3)).设Q为AP的中点，当D与P不重合时，由△ADP为直角三角形，易得|DQ|＝eq \f(1,2)|AP|；当D与P重合时，易得|DQ|＝eq \f(1,2)|AP|，综上即可得结果. 第三部分 专题5 解析几何 数学(理)区块练—高考真题分类2016-2020 【解】　(1)由题设得eq \f(4,a2)＋eq \f(1,b2)＝1，eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(1,2)， 解得a2＝6，b2＝3. 所以C的方程为eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1. 第三部分 专题5 解析几何 数学(理)区块练—高考真题分类2016-2020 (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2). 若直线MN与x轴不垂直， 设直线MN的方程为y＝kx＋m， 代入eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0. 于是x1＋x2＝－eq \f(4km,1＋2k2)，x1x2＝eq \f(2m2－6,1＋2k2).　　① 由AM⊥AN知 eq \o(AM,\s\up6(→))·eq \o(AN,\s\up6(→))＝0， 故(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝0， 可得(k2＋1)x1x2＋(km－k－2)(x1＋x2)＋(m－1)2＋4＝0. 第三部分 专题5 解析几何 数学(理)区块练—高考真题分类2016-2020 将①代入上式可得 (k2＋1)eq \f(2m2－6,1＋2k2)－(km－k－2)eq \f(4km,1＋2k2)＋(m－1)2＋4＝0. 整理得(2k＋3m＋1)(2k＋m－1)＝0. 因为A(2，1)不在直线MN上，所以2k＋m－1≠0， 故2k＋3m＋1＝0，k≠1. 于是MN的方程为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2,3)))－eq \f(1,3)(k≠1). 所以直线MN过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，－\f(1,3))). 第三部分 专题5 解析几何 数学(理)区块练—高考真题分类2016-2020 若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，－y1). 由eq \o(AM,\s\up6(→))· eq \o(AN,\s\up6(→))＝0得(x1－2)(x1－2)＋(y1－1)(－y1－1)＝0. 又2,1)eq \f(x,6) ＋2,1)eq \f(y,3) ＝1，可得3xeq \o\al(2,1)－8x1＋4＝0， 解得x1＝2(舍去)，x1＝eq \f(2,3). 此时直线MN过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，－\f(1,3))). 令Q为AP的中点，即Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(1,3))). 第三部分 专题5 解析几何 数学(理)区块练—高考真题分类2016-2020 若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边， 故|DQ|＝eq \f(1,2)|AP|＝eq \f(2　\r(2),3)