2.2.2 向量的减法运算及其几何意义（精讲精析）-2020-2021学年高一数学教材配套学案（人教A版必修4）

2.2.2向量的减法运算及其几何意义

知识自主预习

新知初探

知识点1.向量的减法

【思考】一个数x的相反数是什么？一个向量a有相反向量吗？若有，如何表示？

【答案】一个数x的相反数是－x.一个向量a有相反向量，记为－a.

 

(1)相反向量：与a                    的向量，叫做a的相反向量，记作     ．

①规定：零向量的相反向量仍是       ；

②－(－a)＝   ；

③a＋(－a)＝          ＝     ；

④若a与b互为相反向量，则a＝    ，b＝     ，a＋b＝     ．

(2) 向量的减法： a－b＝a＋(    )，即减去一个向量相当于加上这个向量的        ．

 

知识点2.向量减法的作图方法

【思考】你能根据向量的加法作出向量a与b的差a－b吗？

【答案】可以，先作－b，再按向量加法的平形四边形法则或三角形法则作出a＋(－b)即可．

 

(1) 利用相反向量作图：通过向量加法的平行四边形法则作出－，作＝，＝，＝    ，则＝＋     .如图所示，由图可知，以一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量.

 (2) 利用几何意义作图：以O为起点，作向量＝a，＝b，则    ＝a－b，如图所示，即a－b可以表示为从                 指向                 的向量．

知识梳理

1.（1）长度相等，方向相反   a   ①零向量   ②a  ③(－a)＋a   0   ④－b  －a   0

（2）－b   相反向量

2.（1） －   －    (2)     向量b的终点    向量a的终点

自我测评

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1). （    ）

(2)相反向量就是方向相反的向量. （    ）

(3). （    ）

(4). （    ）

【解析】(1)错，应为；(2)由相反向量的定义知，(2)错；(3)错，应为，即等于终点对应的向量减去始点对应的向量；(4)错，与的大小不确定．

【答案】(1)×　(2) ×　(3)×   (4) ×

2．下列说法正确的是(　　)

A．两个方向相同的向量之差等于0               B．两个相等向量之差等于0

C．两个相反向量之差等于0                     D．两个平行向量之差等于0

【解析】根据向量减法的几何意义，知只有两个相等向量之差等于0，其他选项都是不正确的.

【答案】B

3.（　　）

A．        B．        C．       D．

【解析】．

【答案】B

4.在平行四边形中，，，则等于（    ）

A.     B.     C.     D.

【解析】平行四边形中，根据向量的加法法则可得，故选B.

【答案】B

5．在中，则，则 ________.

【解析】在中，.

【答案】

【反馈记录】哪里不会问哪里，课堂全过关！

 

题型多维探究

题型1 向量的减法运算

【例1】下列各式中不能化简为的是（　　　）

A.　　　　　　　　B.

C.　　　D.

【解析】因为；

；

；

.

【答案】D

【方法总结】解决向量减法法运算时的注意点

（1）关于向量的减法，一种方法是依据三角形法则通过作图来解决，另一种方法就是通过表示向量的有向线段的字母符号运算来解决.具体地说，在一个用有向线段表示向量有运算式子中，将式子中的“－”改为“＋”只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可，如“－”改为“＋”.然后适当调整顺序，让前一个式子中的有向量线段的“尾”字母和后一个式子中的“首”字母相同，则两者之和即为用前一个式子“首”字母与后一个式子中“尾”字母相联而得到的新向量了.

（2）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是：第一步观察各向量位置；第二步寻找或构造相应的平行四边形和三角形；第三步，运用法则找关系；第四步，化简结果.

 

【变式训练1】化简以下各式：（1）＋＋；（2）－＋－；（3）－＋；（4）＋＋－.结果为零向量的式子个数是（　　）

A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4

【解析】（1）首尾相接的和向量为零向量；

（2）－＋－＝（＋）－（＋）＝－＝；