专题08 导数与函数的单调性（重难点突破）-【教育机构专用】2021年春季高二数学辅导讲义(新教材人教A版2019)

专题08 导数与函数的单调性 【重难点知识点网络】： 1．函数的单调性与其导数的关系 在某个区间内，如果___________，那么函数在这个区间内单调递增；如果___________，那么函数在这个区间内单调递减． 注意：在某个区间内，（）是函数在此区间内单调递增（减）的充分条件，而不是必要条件．函数在内单调递增（减）的充要条件是（）在内恒成立，且在的任意子区间内都不恒等于0． 2．函数图象与之间的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较___________，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些． 【重难点题型突破】： 一、利用导数判断函数的单调性 （1）利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式（）在给定区间上恒成立．一般步骤如下： ①求导数；②判断的符号；③给出单调性结论． （2）在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解题过程中，只能在定义域内讨论，定义域为实数集可以省略不写．在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点． （3）当求得的单调区间不止一个时，单调区间要用“，”或“和”字等隔开，不要用符号“∪”连接． 例1．（2021·湖北高二开学考试）函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 求得导函数，利用，及定义域解不等式即可得出结果. 【详解】 当时，解得，则函数的单调递减区间为. 故选：C. 【变式训练1-1】．（2021·全国高二单元测试）在内的单调性是（ ） A．增加的 B．减少的 C．在内是减少的，在内是增加的 D．在内是增加的，在内是减少的 【答案】C 【分析】求得函数的导数，根据导数的符号，即可求得函数的单调区间，得到答案. 【详解】 由题意，函数的定义为，且， 令，即，可得；令，即，可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 故选：C. 【变式训练1-2】．（多选题）函数，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．若有两个不相等的实根，则 D．若均为正数，则 【答案】BD 【分析】 求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项． 由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A，由函数性质判断BC，设，且均为正数，求得，再由函数性质判断D． 【详解】 由得： 令得， 当x变化时，变化如下表： x 0 单调递增 极大值 单调递减 故，在上递增，在上递减，是极大值也是最大值，时，时，，且时，时，，， A． ，故A错 B．，且在单调递增 ，故：B正确 C．有两个不相等的零点 不妨设 要证：，即要证：在单调递增，∴只需证：即：只需证：……① 令，则 当时，在单调递增 ，即：这与①矛盾，故C错 D．设，且均为正数，则 且 ，故D正确． 故选：BD． 例2．（2021·全国高二课时练习）已知函数.讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析. 【分析】 首先求出定义域，再求出导函数，分和两种情况，求出函数的单调区间； 【详解】 解：因为，所以的定义域为，， 当时，，则在上是增函数； 当时，， 所以； 或； ， 所以在上是减函数，在和上是增函数. 【变式训练1-2】．（2021·江苏泰州市·泰州中学高二月考）设函数，其中． 若，讨论的单调性； 【答案】在内单调递增； 【详解】 解：由已知，的定义域为，且， 因此当时，，从而， 所以在内单调递增． 【变式训练1-3】．（2021·浙江高三其他模拟）已知函数（）． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，令，若函数的图象与直线相交于不同的两点，，设，（）分别为点，的横坐标，求证：． 【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．；（2）证明见解析． 【分析】 （1）求导后，分类讨论，利用导数的符号可得函数的单调性； （2）求出的解析式，利用斜率公式求出，将所证不等式化为（），再构造两个函数，利用导数可证结论成立. 【详解】 （1）的定义域为，且． 当时，，则在上单调递增． 当时，若，则，在上单调递增； 若，则，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）当时，，所以， 所以， 所以． 要证，即证． 因为，所以，即证． 令，则，即证（）． 令（），则， 所以在上单调递减， 所以，即，（）．① 令（），则， 所以在上单调递增， 则，即（）．② 综合①②得（）， 所以. 【点睛】 关键点点睛：将所证不等式化为（），再构造两个函数，利用导数证明不等式成立是解题关键. 【变式训练1-4】．（2021·全国高二单元测试）