专题07 导数的计算与复合函数导数的计算（重难点突破）-【教育机构专用】2021年春季高二数学辅导讲义(新教材人教A版2019)

专题07 导数的计算与复合函数导数的计算 【重难点知识点网络】： 1．几个常用函数的导数 几个常用函数的导数如下表： 函数 导数 （为常数） 2．基本初等函数的导数公式 （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则； （7）若，则； （8）若，则． 3．导数运算法则 （1）； （2）； （3）． 4．复合函数的导数 （1）复合函数的定义 一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数(composite function)，记作． （2）复合函数的求导法则 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为___________，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． （3）如果函数在点x处可导，函数f (u)在点u=处可导，则复合函数y= f (u)=f []在点x处也可导，并且 (f [])ˊ= 或记作 =• 熟记链式法则 若y= f (u)，u= y= f []，则= 若y= f (u)，u=，v= y= f []， = 【重难点题型突破】： 一、简单的函数求导问题 例1．（1）（2021·全国高二课时练习）下列各式中正确的是（ ） A．(logax)′= B．(logax)′= C．(3x)′=3x D．(3x)′=3xln3 【答案】D 【分析】根据求导公式直接可判断. 【详解】由(logax)′=，可知A，B均错；由(3x)′=3xln3可知D正确.故选：D （2）.（2021·全国高二课时练习）设函数f(x)=cosx，则=（ ） A．0 B．1 C．-1 D．以上均不正确 【答案】A 【分析】 根据常数的导数为0可直接得解. 【详解】 因为为常数，所以 故选：A （3）.（2020·全国高二课时练习）已知函数，则_________. 【答案】 【分析】 利用复合函数的求导法则可求得. 【详解】 ，因此，. 故答案为：. 【变式训练1-1】、（2021·全国高二课时练习）求下列函数的导数． （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）. 【分析】 （1）利用幂函数的导数公式可求得原函数的导数； （2）利用幂函数的导数公式可求得原函数的导数； （3）利用对数函数的导数公式可求得原函数的导数； （4）利用指数函数的导数公式可求得原函数的导数； （5）化简函数解析式，利用正弦函数的导数公式可求得原函数的导数. 【详解】 （1），； （2），； （3），； （4），； （5），． 【变式训练1-2】、（2021·全国高三专题练习）已知函数． （1）求； （2）求曲线过点的切线的方程． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】 （1）利用函数的求导法则可求得； （2）设所求切点的坐标为，利用导数求出所求切线的方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，可得出切点的坐标，进而可求得所求切线的方程. 【详解】 （1），则； （2）设切点为， ，所以，切线的斜率为， 所求切线方程为． 将，代入切线方程，得． 整理得，解得或. 当时，， 切线方程为，化简得； 当时，，切线方程为，化简得． 综上所述，曲线过点的切线的方程为或． 【点睛】 本题考查导数的计算，同时也考查了曲线过点的切线方程的求解，考查导数几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题. 二、简单的导数运算法则 例2．（1）（2021·全国高二月考（理））已知，则（ ） A．-1 B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】 根据导数的运算公式，求得，代入即可求得的值. 【详解】 由题意，函数，可得，所以. 故选：C （2）（2021·全国高二单元测试）函数y＝的导数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 直接根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式计算可得； 【详解】 解：因为， 所以 故选：A （3）（2021·南昌市新建一中高二期末（理））下列求导运算中错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 依据求导公式及法则一一判断即可. 【详解】 A选项：，A正确； B选项：，B正确； C选项：，C错误； D选项：，D正确 故选：C （4）（2021·全国高二单元测试）求下列函数的导数： （1）y＝(2x2＋3)(3x－2)； （2）y＝. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）已知结合导数的乘法法则计算即可求解；（2）已知结合导数的除法法则计算即可求解. 【详解】 （1）y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′ ＝4x(3x－2)＋3(2x2＋3) ＝18x2－8x＋9. (2)y′＝＝.