2.专题训练四 特殊平行四边形的性质与综合应用-2020-2021学年八年级下册初二数学【黄冈100分闯关】湘教版（教用）

专题训练(四)　特殊平行四边形的性质与判定的综合应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 类型之一　矩形的性质与判定的综合 １．如图,O 是矩形ABCD 的对角线的交点,E,F,G,H 分别 是OA,OB,OC,OD 上 的 点,且 AE ＝BF ＝ CG＝DH． (１)求证:四边形EFGH 是矩形; (２)若E,F,G,H 分别是OA,OB,OC,OD 的中点, 且DG⊥AC,OF＝２cm,求矩形ABCD 的面积． 解:(１)证明:∵四边形ABCD 是 矩 形, ∴OA ＝OC,OB ＝OD, AC＝BD．∵AE ＝BF ＝CG ＝ DH, ∴OE ＝OG,OF ＝OH, EG＝FH,∴四边形EFCH 是矩形 (２)∵OF＝２cm,F 是OB 的中点,∴OB＝２OF＝ ４cm．∵OB＝OD,∴BD＝２OB＝８cm．∵OA＝OC, OB＝OD,AC＝BD,∴OD＝OC．∵DG⊥AC,G 是OC 的中点,∴OD＝DC＝OC＝OB＝４cm．∵∠BCD＝ ９０°,∴BC＝ BD２－CD２ ＝４ ３ cm．∴S矩形ABCD ＝ BC􀅰CD＝４３×４＝１６３(cm２) 类型之二　菱形的性质与判定的综合 ２．如图,四边形ABCD 中,AB∥CD,AC 平分∠BAD, CE∥AD 交AB 于点E． (１)求证:四边形AECD 是菱形; (２)若点E 是AB 的中点,试判断△ABC 的形状,并 说明理由． 解:(１)证明:∵AB∥CD,即 AE∥ CD,又∵CE∥AD,∴四边形AECD 是平行四边形,∵AC 平分∠BAD, ∴∠CAE＝∠CAD．又∵AD∥CE, ∴ ∠ACE ＝ ∠CAD, ∴ ∠ACE ＝ ∠CAE,∴AE＝CE,∴四边形AECD 是菱形 (２)△ABC 是直角三角形,理由:连接DE,设DE 交 AC 于点F．∵ 四边形 AECD 是菱形,∴DE⊥AC, AF＝CF．∵E 是AB 的中点,∴EF∥BC．∴BC⊥AC, ∴△ABC 是直角三角形 类型之三　正方形的性质与判定的综合 ３．如图①,四边形ABCD 是正方形,G 是CD 边上的一 个动点(点G 与点C,D 不重合),以CG 为一边在正 方形ABCD 外作矩形CEFG,连接BG,DE,且BG＝ DE． (１)求证:矩形CEFG 是正方形; (２)在图①中连接AG,当点G 在什么位置时,AG＝ DE? 请证明; (３)将图①中的正方形CEFG 绕点C 按顺时针(或逆 时针)方向旋转任意角度,得到如图②的情形,请 你通过观察、测量等方法判断图②中BG 与DE 酌位置关系与数量关系,并证明你的结论． 解:(１)证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴BC＝CD, ∠BCG＝∠DCE＝９０°．又∵BG＝DE,∴Rt△BCG≌ Rt△DCE(HL),∴CG＝CE．∵四边形CEFG 是矩形, ∴矩形CEFG 是正方形 (２)当点G 是CD 的中点时,AG＝DE．证明如下:∵四 边 形 ABCD 是 正 方 形, ∴AD ＝CD, ∠ADG ＝ ∠DCE＝９０°．∵G 是CD 的中点,∴DG＝CG．∵四边 形 CEFG 是 正 方 形, CG ＝ CE, ∴ DG ＝ CE． ∴△ADG≌△DCE(SAS),∴AG＝DE (３)BG＝DE,BG⊥DE．证明如下:设BG 分别交DC, DE 于点H,O,∵四边形ABCD、四边形CEFG 都是 正方形,∴BC＝CD,CG＝CE, ∠BCD＝ ∠ECG＝ ９０°,∴∠BCG＝∠DCE,∴△BCG≌△DCE(SAS),∴ BG＝DE,∠CBG＝∠CDE．又∵∠BHC＝∠DHO, ∠CBG＋∠BHC＝９０°,∴∠CDE＋∠DHO＝９０°,∴ ∠DOH＝９０°,∴BG⊥DE ７５ 类型之四　矩形、菱形的性质与判定的综合 ４．已知:如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD＞AB), 将纸片折叠一次,使点A 与点C 重合,再展开,折痕 EF 交AD 边于点E,交BC 边于点F,分别连接AF, CE 和AC,AC 交EF 于点O． (１)求证:四边形AFCE 是菱形; (２)若 AE ＝１０cm,△ABF 的 面 积 为 ２４cm２,求 △ABF 的周长． 解:(１)证明:由题意可知OA＝OC, EF⊥AO,∵AD∥BC,∴∠AEO＝ ∠CFO,∠EAO＝∠FCO,∴△AOE ≌△COF(ASA),∴AE＝CF．又AE∥CF,∴四边形 AFCE 是平行四边形．∵AC⊥EF,∴四边形AFCE 是 菱形 (２)∵四边形AFCE 是菱形,∴AF＝AE＝１０cm．设 AB＝acm,BF＝bcm,∵△ABF 的面积为２４cm２,∴ a２＋b２＝１００,ab＝４８,∴(a＋b)２＝１９６,∴a＋b＝１４ 或a＋b＝－１４(不合题意,舍去),∴△A