专题08基本立体图形（对点精练）-2020-2021学年高一数学同步讲练测（人教A版2019必修第二册）

2020-2021数学第二册讲练测（人教A版2019必修第二册） 专题08基本立体图形 1．某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（　　） A．2 B． C． D．1 【答案】A 如图所示，截面为，P为MN的中点，设 , 当时，，此时截面面积最大. 故选：A 2．已知球O是正三棱锥的外接球，，点E在线段上，且，过点E作球O的截面，则所得截面中面积最小的截面圆的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 如图， 设△ABC的中心为O′，球O的半径为R， 连接，OC，，OE， 则＝3sin60°，， 在Rt△O中，R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2， ∵AC＝3AE，∴CE＝2， 在△CEO′中，＝， ∴OE＝， 过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小， 此时截面圆的半径为最小面积为2π． 故选：A 3．我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何？术曰：以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦.弦者，葛之长”意思是：今有丈长的圆木，其横截面周长尺，葛藤从圆木底端绕圆木周至顶端，问葛藤有多长？九章算术还有解释：七周乘以三尺为股（直角三角形较长的直角边），木棍的长为勾（直角三角形较短的直角边），葛的长为弦（直角三角形的斜边）（注：丈尺）（ ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】A 根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示， 矩形的高（即木棍的高）为尺，矩形的底边长为（尺）， 因此葛藤长（尺）. 故选：A. 4．若三棱锥满足，，则该三棱锥可能是（ ） A． B． C． D．以上选项都不可能 【答案】C 在三棱锥中，由， 将此三棱锥放置入长方体中，如图，设该长方体的长宽高分别为 则，， 在中，，角为锐角. 同理可得均为锐角.则为锐角三角形. 选项A：由，为钝角，所以A不正确. 选项B: ,为直角，故B不正确. 选项C: , 由余弦定理可得的三个内角均为锐角，则满条件，故C正确,，则D不正确. 故选：C 5．正三棱锥中，若，，点、分别在侧棱、上运动，则的周长的最小值为（ ） A． B． C．12 D． 【答案】D 将三棱锥由展开，如图， 正三棱锥中，，则图中， 当点、、、位于同一条直线上时，的周长最小， 故为的周长的最小值， 又，为等腰三角形， ，， ， 的最小周长为：． 故选：D． 6．如图，长、宽、高分别为、、的长方体木块上有一只小虫从顶点出发沿着长方体的外表面爬到顶点，则它爬行的最短路程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 由于长方体的长、宽、高分别为、、，则小虫从点沿着侧面和上底面爬行，以及小虫从点沿着侧面和侧面爬行，这两条线路的最短路程相等. ①若小虫从点沿着侧面和上底面爬行，将侧面和上底面延展为一个平面，如下图所示： 则，最短路程为； ②若小虫从点沿着侧面和侧面爬行，将面和侧面延展为一个平面，如下图所示： 则，，最短路程为. 因为，因此，小虫爬行的最短路程为. 故选：C. 7．从正方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点中任意取4个不同的顶点，这4个顶点可能是： （1）矩形的4个顶点；（2）每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；（3）每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；（4）有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点． 其中正确结论的个数为________． 【答案】4 （1）如图所示：四边形ABCD为矩形，故（1）满足条件； （2）四面体D－A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体，故（2）满足条件； （3）四面体D－B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体，故（3）满足条件； （4）四面体C－B1C1D1为有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体，故（4）满足条件； 故正确的结论有4个． 故答案为：4． 8．已知在正方体中，点是中点，点是中点，若正方体的内切球与直线交于点，，且，若点Q是棱上一个动点，则的最小值为_____________． 【答案】 因为在正方体中，点是中点，点是中点，若正方体的内切球与直线交于点，，则经过，与球心的截面图形的一部分如图2： 设正方体的棱长为，则内切球的半径为，，，， 由可得，解得； 又点是棱上一个动点，要求的最小值，只需把平面沿旋转到与平面在一个平面内，如下图： 连接，则的长度即是的最小值， 因此. 故答案为：. 9．圆锥底面半径为1，高为，轴截面为．如图，从点拉一绳子绕圆锥侧面一周回到点，则最短绳长为________. 【答案】 如图，将圆锥侧面展开，得到如图所示的扇形，可知最短绳长为的长度， 底面半径为1，高为， ，， 设， ，则， ，则 即最短绳长为. 故答