第1章 5.2 二项式系数的性质-2020-2021学年高中数学选修2-3【导学教程】同步辅导（北师大版）课件PPT

第一章 计数原理 | 数学 | 选修2-3（BSD） 菜 单 5．2　二项式系数的性质 第一章 计数原理 | 数学 | 选修2-3（BSD） 菜 单 课前预习案·素养养成 ●趣味导入 “杨辉三角”是我国古代数学重要的研究成果之一，它的发现远早于法国数学家帕斯卡建立的二项式系数的三角形表示法．“杨辉三角”和勾股定理、圆周率的计算等中国古代数学成就都显示了我国古代劳动人民的卓越智慧和才能． 那么，“杨辉三角”与二项式定理中的二项展开式有何关系呢？ 第一章 计数原理 | 数学 | 选修2-3（BSD） 菜 单 相等 相等 ●学案导引 知识点 二项式系数的性质 了解 1.二项式系数表的规律：表中每行的两端都是1，且与这两个1等距离的系数_______，即Ceq \o\al(m,n)＝Ceq \o\al(n－m,n).在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的和．事实上，设表中任一不为1的数为Ceq \o\al(r,n＋1)，那么它“肩上”的两个数分别为Ceq \o\al(r－1,n)和Ceq \o\al(r,n)，有Ceq \o\al(r,n＋1)＝____________. 2．与首末两端“等距离”的两个二项式系数______． Ceq \o\al(r－1,n)＋Ceq \o\al(r,n) 第一章 计数原理 | 数学 | 选修2-3（BSD） 菜 单 3．当r＜eq \f(n＋1,2)时，二项式系数是逐渐增大的；当r＞eq \f(n＋1,2)时，二项式系数是逐渐减小的，且呈对称性，从而可知二项式系数在中间取得最大值．若n为偶数，则中间一项的二项式系数Ceq \f(n,2)n取得最大值；若n为奇数，则中间两项的二项式系数Ceq \f(n－1,2)n和Ceq \f(n＋1,2)n相等，且同时取得最大值． 第一章 计数原理 | 数学 | 选修2-3（BSD） 菜 单 4．(a＋b)n的展开式的所有二项式系数的和等于2n，即Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋…＋Ceq \o\al(n,n)＝_____；奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋Ceq \o\al(4,n)＋…＝________________________＝2n－1. ●思考探究 1．你能否根据“杨辉三角”中相应于n＝6的各二项式系数1,6,15,20,15,6,1写出相应于n＝7的各二项式系数吗？ 2n Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(3,n)＋Ceq \o\al(5,n)＋… 提示　根据杨辉三角中的规律，在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，所以n＝7的各二项式系数为1,7,21,35,35,21,7,1. 第一章 计数原理 | 数学 | 选修2-3（BSD） 菜 单 2．令f(k)＝Ceq \o\al(k,n)，k∈{0,1,2，…，n}，则直线k＝eq \f(n,2)将函数f(k)的图像分成对称的两部分，即直线k＝eq \f(n,2)是图像的对称轴，由此我们得到结论：当k＝eq \f(n,2)时，Ceq \o\al(k,n)最大，这个结论正确吗？ 提示　不正确．当n是偶数时，Ceq \f(n,2)n最大；当n是奇数时，Ceq \f(n－1,2)n＝Ceq \f(n＋1,2)n最大． 第一章 计数原理 | 数学 | 选修2-3（BSD） 菜 单 课堂探究案·素养提升 类型一　与杨辉三角有关的问题 [例1]　如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为Sn，则S16等于 A．144　　　　 B．146 C．164　　　　　D．461 第一章 计数原理 | 数学 | 选修2-3（BSD） 菜 单 [答案]　C [思路点拨]　由题目可获取以下主要信息： (1)题目背景是杨辉三角； (2)所给数列为一锯齿形数列． 解答本题可观察数列的各项在杨辉三角中的位置，把各项还原为各二项展开式的二项式系数，然后利用组合数的性质求和． [自主解答]　由图知，数列中的首项是Ceq \o\al(2,2)，第2项是Ceq \o\al(1,2)，第3项是Ceq \o\al(2,3)，第4项是Ceq \o\al(1,3)，……，第15项是Ceq \o\al(2,9)，第16项是Ceq \o\al(1,9). ∴S16＝Ceq \o\al(1,2)＋Ceq \o\al(2,2)＋Ceq \o\al(1,3)＋Ceq \o\al(2,3)＋…＋