5.3.3 函数的最值-2020-2021学年高二数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019选择性必修第二册）

5.3.3函数最值与导数 导学案 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【学习目标】 1.理解最值的概念，了解最值与极值的区别 2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值 【自主学习】 知识点1 函数最值的概念 如果在函数f(x)定义域I内存在一点x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为函数的定义域上的最大值. 如果在函数f(x)定义域I内存在一点x0，使得对任意的x∈I，总有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为函数在定义域上的最小值. 知识点2 求函数的最值 1.求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤： (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 2.函数在开区间(a，b)的最值 在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值；若函数f(x)在开区间I上只有一个极值，且是极大(小)值，则这个极大(小)值就是函数f(x)在区间I上的最大(小)值. 【合作探究】 探究一 求函数的最值 例1求下列各函数的最值： (1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]； (2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]. 解　(1)f′(x)＝－4x3＋4x， 令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0， 得x＝－1，x＝0，x＝1. 当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表： x －3 (－3，－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ 0 － f(x) －60  极大值4  极小值3  极大值4  －5 ∴当x＝－3时，f(x)取最小值－60； 当x＝－1或x＝1时，f(x)取最大值4. (2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3， ∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数.故x＝－1时，f(x)最小值＝－12； x＝1时，f(x)最大值＝2. 即f(x)的最小值为－12，最大值为2. 归纳总结：一般地，在闭区间[a，b]上的连续函数f(x)必有最大值与最小值，在开区间(a，b)内的连续函数f(x)不一定有最大值与最小值. 练习1设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12. (1)求a，b，c的值； (2)求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[－1,3]上的最大值和最小值. 解　(1)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x). 即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c，∴c＝0. ∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，∴a＞0，b＝－12. 又直线x－6y－7＝0的斜率为， 因此f′(1)＝3a＋b＝－6， 故a＝2，b＝－12，c＝0. (2)f(x)＝2x3－12x，f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－)，列表如下： x (－∞，－) － (－，) (，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值  极小值  ∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)，(，＋∞). ∵f(－1)＝10，f(3)＝18，f()＝－8， f(－)＝－f()＝8， ∴当x＝时，f(x)取得最小值为－8； 当x＝3时，f(x)取得最大值为18. 探究二 含参数函数的最值 例2已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0,2]上的最大值. 解　f′(x)＝3x2－2ax. 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝. ①当≤0，即a≤0时， f(x)在[0,2]上单调递增， 从而f(x)max＝f(2)＝8－4a. ②当≥2，即a≥3时， f(x)在[0,2]上单调递减， 从而f(x)max＝f(0)＝0. ③当0<<2，即0<a<3时，f(x)在上单调递减，在上单调递增， 从而f(x)max＝ 综上所述，f(x)max＝ 归纳总结：由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，所以解决这类问题常常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解. 练习2 设a为常数，求函数f(x)＝－x3＋3ax(0≤x≤1)的最大值. 解　f′(x)＝－3x2＋3a＝－3(x2－a). 若a≤0，则f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，所以当x＝0时，有最大值f(0)＝0.若a＞0，则令f′(x)＝0，解得x＝±. ∵