5.3.2 函数的极值-2020-2021学年高二数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019选择性必修第二册）

5.3.2函数的极值与导数 导学案 编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 【学习目标】 1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用. 2.掌握函数极值的判定及求法. 3.掌握函数在某一点取得极值的条件. 【自主学习】 知识点1 函数极值的概念 1.极小值点与极小值 如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值. 2.极大值点与极大值 如图，函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值. 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值. 知识点2 求可导函数f(x)的极值方法与步骤 1.求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值. 2.求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x). (2)求f(x)的拐点，即求方程f′(x)＝0的根. (3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值. 【合作探究】 探究一 求函数的极值 例1求函数f(x)＝x3－4x＋4的极值. 解　由题意可知f′(x)＝x2－4. 解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2. 由f′(x)＞0得x＜－2或x＞2； 由f′(x)＜0得－2＜x＜2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，－2) －2 (－2,2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)   －  由表可知：当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝. 当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－. 归纳总结：求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的根； (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格.检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值. 练习1求下列函数的极值. (1)y＝2x3＋6x2－18x＋3； (2)y＝2x＋. 解　(1)函数的定义域为R. y′＝6x2＋12x－18＝6(x＋3)(x－1)， 令y′＝0，得x＝－3或x＝1. 当x变化时，y′，y的变化情况如下表： x (－∞，－3) －3 (－3,1) 1 (1，＋∞) y′ ＋ 0 － 0 ＋ y  极大值57  极小值－7  从上表中可以看出，当x＝－3时，函数取得极大值，且y极大值＝57. 当x＝1时，函数取得极小值，且y极小值＝－7. (2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， y′＝2－＝2＝2， 令y′＝0，得x＝－2或x＝2. 当x＜－2时，y′＞0；当－2＜x＜0时，y′＜0. 即x＝－2时，y取得极大值，且极大值为－8. 当0＜x＜2时，y′＜0；当x＞2时，y′＞0. 即x＝2时，y取得极小值，且极小值为8. 探究二 利用函数极值确定参数的取值范围(或值) 例2已知函数f(x)＝6ln x－ax2－8x＋b(a，b为常数)，且x＝3为f(x)的一个极值点. (1)求a的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)若y＝f(x)的图象与x轴正半轴有且只有3个交点，求实数b的取值范围. 解　(1)∵f′(x)＝－2ax－8，∴f′(3)＝2－6a－8＝0，解得a＝－1. (2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞). 由(1)知f(x)＝6ln x＋x2－8x＋b. ∴f′(x)＝＋2x－8＝. 由f′(x)＞0可得x＞3或0＜x＜1， 由f′(x)＜0可得1＜x＜3(x＜0舍去). ∴函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(1,3). (3)由(2)可知函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增. 且当x＝1和x＝3时，f′(x)