5.3.1 函数的单调性与导数-2020-2021学年高二数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019选择性必修第二册）

编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 5.3.1函数的单调性与导数 导学案 【学习目标】 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系 2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式 3.会求函数的单调区间(其中多项式函数的最高次数一般不超过三次) 【自主学习】 知识点1函数的单调性与导数的关系 在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系： 导数 函数的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 f′(x)＝0 常函数 知识点2利用导数求函数的单调区间 (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求出函数的导数f′(x). (3)解不等式f′(x)＞0，得函数的单调递增区间；解不等式f′(x)＜0，得函数的单调递减区间.或则作出导函数的函数图像，x轴上方对应函数的递增区间，x轴下方对应函数递减区间 知识点3 导数绝对值的大小与函数图象的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化较快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)； 反之，函数的图象就“平缓”一些.也就是说导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度. 如图，函数y＝f(x)在(a,0)和(0，b)内的图象“陡峭”，在(－∞，a)和(b，＋∞)内的图象“平缓”. 【合作探究】 探究一 利用导数确定函数的单调区间 例1求下列函数的单调区间. (1)f(x)＝3x2－2ln x； (2)f(x)＝x2·e－x； (3)f(x)＝x＋ . 解　(1)函数的定义域为D＝(0，＋∞).∵f′(x)＝6x－，令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－(舍去)，用x1分割定义域D，得下表： x f′(x) － 0 ＋ f(x)   ∴函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为. (2)函数的定义域为D＝(－∞，＋∞).∵f′(x)＝(x2)′e－x＋x2(e－x)′＝2xe－x－x2e－x＝e－x(2x－x2)，令f′(x)＝0，由于e－x＞0，∴x1＝0，x2＝2，用x1，x2分割定义域D，得下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f′(x)    ∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递增区间为(0,2). (3)函数的定义域为D＝(－∞，0)∪(0，＋∞). ∵f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1，用x1，x2分割定义域D，得下表： x (－∞，－1) －1 (－1,0) (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － － 0 ＋ f(x)     归纳总结：首先确定函数定义域，然后解导数不等式，最后写成区间的形式，注意连接同类单调区间不能用“∪”. 练习1求函数f(x)＝x3－3x的单调区间. 解　f′(x)＝3x2－3＝3(x2－1). 当f′(x)＞0时，x＜－1或x＞1， 此时函数f(x)单调递增； 当f′(x)＜0时，－1＜x＜1，此时函数f(x)单调递减. ∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－1)，(1，＋∞)，递减区间是(－1,1). 探究二 利用导数确定函数的大致图象 例2画出函数f(x)＝2x3－3x2－36x＋16的大致图象. 解　f′(x)＝6x2－6x－36＝6(x2－x－6)＝6(x－3)(x＋2). 由f′(x)＞0 得x＜－2或x＞3， ∴函数f(x)的递增区间是(－∞，－2)和(3，＋∞). 由f′(x)＜0得－2＜x＜3， ∴函数f(x)的递减区间是(－2,3). 由已知得f(－2)＝60，f(3)＝－65，f(0)＝16. ∴结合函数单调性及以上关键点画出函数f(x)大致图象如图所示(答案不唯一). 归纳总结：利用导数可以判定函数的单调性，而函数的单调性决定了函数图象的大致走向.当函数的单调区间确定以后，再通过描出一些特殊点，就可以画出一个函数的大致图象. 练习2已知导函数f′(x)的下列信息： 当2＜x＜3时，f′(x)＜0； 当x＞3或x＜2时，f′(x)＞0； 当x＝3或x＝2时，f′(x)＝0； 试画出函数f(x)图象的大致形状. 解　当2＜x＜3时，f′(x)＜0，可知函数在此区间上单调递减； 当x＞3或x＜2时，f′(x)＞0，可知函数在这两个区间上单调递增； 当x＝3或x＝2时，f′(x)＝0，在这两点处的两侧，函数单调性发生改变. 综上可画出函数f(x)图象的大致形状，如图所示(答案不唯一). 探究三 利用导数确