5.2.2 导数的运算法则-2020-2021学年高二数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019选择性必修第二册）

编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 5.2.2导数的运算法则 导学案 【学习目标】 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则 2.掌握求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数 3.能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导 【自主学习】 知识点1导数的运算法则 法则 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) [f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数 ＝(g(x)≠0) 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方 知识点2复合函数的导数 复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)) 复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 【合作探究】 探究一 导数运算法则的应用 例1求下列函数的导数： (1)y＝x5＋x3；(2)y＝lg x－ex；(3)y＝·cos x；(4)y＝x－sin ·cos . 解　(1)y′＝′＝′＋′ ＝x4＋2x2. (2)y′＝(lg x－ex)′＝(lg x)′－(ex)′＝－ex. (3)方法一　y′＝′＝′cos x＋(cos x)′ ＝cos x－sin x＝－cos x－sin x ＝－－sin x＝－－sin x ＝－. 方法二　y′＝′＝′＝ ＝＝－＝－. (4)∵y＝x－sin ·cos ＝x－sin x， ∴y′＝′＝1－cos x. 归纳总结：可以先化简，再求导 练习1求下列函数的导数： (1)y＝x4－3x2－5x＋6；(2)y＝x·tan x； (3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(4)y＝. 解　(1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－(3x2)′－(5x)′＋6′＝4x3－6x－5. (2)y′＝(x·tan x)′＝′ ＝ ＝ ＝. (3)方法一　y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ ＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋x2＋3x＋2 ＝3x2＋12x＋11. 方法二　∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3) ＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′ ＝3x2＋12x＋11. (4)方法一　y′＝′ ＝ ＝＝. 方法二　∵y＝＝＝1－， ∴y′＝′＝′ ＝－＝. 探究二 复合函数求导法则的应用 例2求下列函数的导数： (1)y＝(1＋cos 2x)3；(2)y＝sin2 ； (3)y＝；(4)y＝(2x2－3). 解　(1)y＝(1＋cos 2x)3＝(2cos2x)3＝8cos6x y′＝48cos5x·(cos x)′＝48cos5x·(－sin x)， ＝－48sin xcos5x. (2)令y＝u2，u＝sin ，再令u＝sin v，v＝， ∴y′x＝y′u·u′v·v′x＝(u2)′·(sin v)′·′ ＝2u·cos v·＝2sin ·cos ·＝－·sin . (3)设y＝，u＝1－2x2，则y′＝ (1－2x2)′ ＝·(－4x)＝ (－4x) ＝. (4)令y＝uv，u＝2x2－3，v＝， 令v＝，w＝1＋x2. v′x＝v′w·w′x＝()′(1＋x2)′＝ ＝＝， ∴y′＝(uv)′＝u′v＋uv′ ＝(2x2－3)′·＋(2x2－3)· ＝4x＋＝. 归纳总结：1.分层 2.分别求导 3.相乘 4.带回变量 练习2求下列函数的导数： (1)y＝(2x＋1)5；(2)y＝； (3)y＝；(4)y＝x·； (5)y＝lg(2x2＋3x＋1)；(6)y＝. 解　(1)设u＝2x＋1，则y＝u5， ∴y′x＝y′u·u′x＝(u5)′·(2x＋1)′＝5u4·2 ＝10u4＝10(2x＋1)4. (2)设u＝1－3x，则y＝u－4， ∴y′x＝y′u·u′x＝(u－4)′·(1－3x)′ ＝－4u－5·(－3)＝12u－5＝12(1－3x)－5 ＝. (3)设u＝1－3x，则y＝， ∴y′x＝y′u·u