5.2.1 几个常用函数的导数-2020-2021学年高二数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019选择性必修第二册）

编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波 5.2.1几个常用函数的导数 导学案 【学习目标】 1.能根据定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数 【自主学习】 知识点1几个常用函数的导数 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝x f′(x)＝1 f(x)＝x2 f′(x)＝2x f(x)＝ f′(x)＝－ f(x)＝ f′(x)＝ 知识点2基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax f′(x)＝axln a(a>0，且a≠1) f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝(a>0，且a≠1) f(x)＝ln x f′(x)＝ 【合作探究】 探究一 运用求导公式求常见的基本初等函数的导数 例1求下列函数的导数： (1)y＝；(2)；(3)y＝cos ；(4)y＝22x. 解　(1)y′＝＝(x－5)′＝－5x－6＝－； (2)y′＝＝－； (3)y′＝＝0； (4)y′＝(22x)′＝(4x)′＝4x·ln 4. 归纳总结： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂； (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 练习1求下列函数的导数： (1)y＝x8；(2)y＝；(3)y＝x；(4)y＝. 解　(1)y′＝8x7； (2)y′＝ln ＝－ln 2； (3)∵y＝x＝，∴y′＝； (4) y′＝＝－. 探究二 利用导数公式求曲线的切线方程 例2求过曲线y＝sin x上点P且与过这点的切线垂直的直线方程. 解　∵y＝sin x，∴y′＝cos x， 曲线在点P处的切线斜率是： y′|＝cos＝. ∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－， 故所求的直线方程为y－＝－， 即2x＋y－－＝0. 归纳总结：导数的几何意义是曲线在某点处的切线斜率，两条直线互相垂直时，其斜率之积为－1(在其斜率都存在的情形下). 练习2已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程. 解　(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1. 又∵f(2)＝－2， ∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0. (2)设切点坐标为(x0，x－4x＋5x0－4). ∵f′(x0)＝3x－8x0＋5， ∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2). 又∵切线过点(x0，x－4x＋5x0－4)， ∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2). 整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1. 当x0＝2时，f′(x0)＝1， 此时所求切线方程为x－y－4＝0； 当x0＝1时，f′(x0)＝0，此时所求切线方程为y＋2＝0. 故经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为 x－y－4＝0或y＋2＝0. 课后作业 A组 基础题 一、选择题 1.设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a等于(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　D 解析　令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－. 由导数的几何意义，可得在点(0,0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1. 又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2，∴a＝3. 2.函数f(x)＝，则f′(3)等于(　　) A. B.0 C. D. 答案　A 解析　∵f′(x)＝()′＝，∴f′(3)＝＝. 3.设直线y＝x＋b－1是曲线y＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b的值为(　　) A.1－ln 2 B.ln 2 C.ln 2 D.2 答案　C 解析　设切点为(x0，y0)，根据导数几何意义，得 ＝y′|＝， 解得x0＝2，代入曲线方程得y0＝ln 2. 故切点为(2，ln 2)，将该点坐标代入直线方程得 ln 2＝×2＋b－1， 解得b＝ln 2，故选C. 4.过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为(　　) A. B.或 C. D. 答案　B 解析　y′＝＝－＝－4，x＝±，故选B. 5.已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于(　　) A.4