第三章 数学建模活动（二）（解析版） -【上好课】2020-2021学年高一数学同步备课系列（北师大2019必修第二册）

第三章　数学建模活动（二） [A级　基础巩固] 1．某人骑自行车沿直线匀速前行，先前进了a km，休息了一段时间，又沿原路返回b km(b<a)，再前进c km，则此人离起点的距离s与时间t的关系示意图是(　　) A　　　　B　 　　C　　　　D C　[B与C的区别在于C中沿原路返回时耗费了时间而B中没有体现，故选C.] 2．已知某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍，则该工厂这一年中的月平均增长率是(　　) A.－1　　　　　　　　 B. C.－1 D. A　[设月平均增长率为x,1月份产量为a，则有a(1＋x)11＝7a，则1＋x＝， 故x＝－1.] 3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润（单位：万元）分别为L1=5.06x－0.15 x 2和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（ ） A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51 答案：B 【解析】 主要考查构建函数模型，利用导数解决生活中的优化问题． 解：设甲地销售辆，依题意L1 +L2=5.06－0.15 +2（15－）==，所以当取整数10时，最大利润为45.6，故选B． 4．一种产品的成本是a元．今后m（m∈N*）年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x的函数（0<x<m，且x∈N*），其关系式为 A．y=a（1+p%）x B．y=a（1–p%）x C．y=a（p%）x D．y=a–（p%）x 答案：B 【分析】 根据题意，成本每年降低率相同，符合指数函数模型问题，利用指数函数即可解决问题 【详解】 根据题意，得y=a（1–p%）x，∵x是年数，又由题意0<x<m，x∈N，因此所求关系式为y=a（1–p%）x（x∈N，1<x<m）．故选B． 【点睛】 本题考查了指数函数模型的应用问题，解题时应根据题意，建设指数函数模型，从而解决问题，是基础题 5.某单位职工工资经过六年翻了三番，则每年比上一年平均增长的百分率是(　　)(下列数据仅供参考：＝1.41，＝1.73，＝1.44，＝1.38) A．38% B．41% C．44% D．73% 解析：设年平均增长率为p，由题意得(1＋p)6＝23,1＋p＝＝1.41，∴p＝0.41.故选B. 答案：B 6．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lg中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝________.(已知lg 5≈0.699，lg 3≈0.477) 解析：当N＝40时，t＝－144lg＝－144lg＝－144(lg 5－2lg 3)≈36.72. 答案：36.72 7.A、B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市安全．核电站与城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月． (1)求x的范围； (2)把月供电总费用y表示成x的函数； (3)核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小． [解]　(1)x的取值范围为[10，90]； (2)y＝0.25×20x2＋0.25×10(100－x)2＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)； (3)由y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25 000＝＋. 则当x＝ km时，y最小． 故当核电站建在距A城 km时，才能使供电费用最小． [B级　综合运用] 1、在某实验中，测得变量x和变量y之间对应数据，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －1.01 0.01 0.98 2.00 则x，y最合适的函数是(　　) A．y＝2x　　　　　　 B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x D　[根据x＝0.50，y＝－1.01，代入计算，可排除A；根据x＝2.01，y＝0.98代入计算，可排除B、C；将各数据代入y＝log2x，可知D满足题意．] 2、某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为(　　) A．y＝0.2x(0≤x≤4 000) B．y＝0.5x(0≤x≤4 000) C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) 【解析】 由题意知，普通自行车存车x辆时，电动自行车存车4000-x辆，则 , 0≤x≤4 000 故选C 3、