专题2 培优点8 向量共线定理的应用（全国Ⅲ）-2021【步步高】高考文数大二轮专题复习与增分策略（桂贵云川藏）课件PPT

培优点8　向量共线定理的应用 专题二　三角函数与解三角形 　　向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁. √ 即△ABM与△ABC的面积之比为1∶3. 解析　方法一　∵B，P，N三点共线， √ 能力 提升 (1)若 　 (λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. (2)使用条件“两条线段的交点”时，可转化成两次向量共线，进而确定交点位置. 跟踪演练 1 2 3 √ 1 2 3 ∵B，F，E三点共线，∴x＋2y＝1， ① ∵D，F，C三点共线，∴2x＋y＝1， ② 1 2 3 解析　∵M为边BC上任意一点， ∵N为AM的中点， 1 2 3 因为D，E，F三点共线， 1 2 3 1 2 3 例1　(1)若点M是△ABC所在平面内一点，且满足|3－－|＝0，则△ABM与△ABC的面积之比为 A.3∶4 B.1∶4 C.1∶3 D.1∶2 解析　∵|3－－|＝0， ∴＝＝，易得＝＝， ∴3－－＝0，∴＋＝3. 设BC的中点为G，则＋＝2， ∴3＝2，即＝， ∴点M在线段AG上，且＝. ∴＝·＝×＝， (2)在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为___. ∴∥，∴存在实数λ，使得＝λ(λ>0)， ∴解得 ∴－＝λ(－)， ∵λ>0，∴＝＋. ∵＝，＝m＋， ∴＝m＋， 方法二　∵＝，＝m＋， ∴＝m＋. ∵B，P，N三点共线，∴m＋＝1，∴m＝. 例2　(1)(2020·成都质检)在△ABC中，D 为线段AC的中点，点E在 边BC上，且BE＝EC，AE与BD交于点O，则等于 A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 解析　如图，设＝λ(λ>0)， 又＝＋＝＋， ∴＝λ＋λ＝λ＋λ. 又B，O，D三点共线，∴λ＋λ＝1， ∴λ＝，∴＝＋. (2)在△ABC中，过中线AD的中点E任作一直线分别交AB，AC于M，N两点，设＝x，＝y(xy≠0)，则4x＋y的最小值是____. 解析　由D为BC的中点知，＝＋， 当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号. ∴4x＋y的最小值为. 又＝x，＝y(xy≠0)，E为AD的中点， 故＝＝＋， ∵M，E，N三点共线，∴＋＝1， ∴4x＋y＝(4x＋y)＝＋＋≥2＋＝， ＝λ＋μ 1.如图，△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F，设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)等于 A. B. C. D. 解析　由题意得，＝xa＋yb＝x＋2y， 同理，＝2x＋y， 由①②得x＝y＝，∴(x，y)＝. ∴＝＝x＋y＝λ＋μ. ∴λ＋μ＝(x＋y)＝. 2.在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为____. ∴可设＝x＋y(x＋y＝1). 3.已知在△ABC中，点D满足2＋＝0，过D的直线l与直线AB， AC分别交于点E，F，＝λ，＝μ.若λ>0，μ>0，则λ＋μ的最小 值为________. 解析　因为2＋＝0，所以＝， 所以x＝，1－x＝，所以＋＝1， 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋. 所以可设＝x＋(1－x)＝xλ＋(1－x)μ， 所以xλ＋(1－x)μAC＝＋， 根据平面向量基本定理，得xλ＝，(1－x)μ＝， 所以λ＋μ＝(λ＋μ)·＝≥， 当且仅当λ＝μ＝时等号成立. 即λ＋μ的最小值为. $