专题09 专项训练卷（三） 空间点、直线、平面位置关系中有关角计算问题（解析版）-2020-2021学年高一数学下册新考向多视角同步训练（人教A版2019）

2020-2021学年人教版高一数学下册新考向多视角同步训练 专项训练卷（三）第八章 空间点、直线、平面位置关系中有关角计算问题 试卷满分：150分 考试时长：120分钟 注意事项： 1.本试题满分150分，考试时间为120分钟. 2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上. 3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1．（2021·浙江高一期末）在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】A 【分析】 如图，连接，，，利用余弦定理可求的值，从而可得直线与直线所成角大小. 【详解】 设正方体的棱长为，连接，，， 因为，故或其补角为直线与直线所成角. 而，，， 故，所以， 所以，因为为锐角，故， 故选：A. 2．（2021·安徽芜湖市·高二期末（理））已知四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 连接、，设与的交点为，连接，则为与所成的角或其补角；再由题中条件，设该四棱锥的棱长为，由余弦定理求出，即可得出结果. 【详解】 连接、，设与的交点为，连接， 则为与所成的角或其补角； 因为四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，所以该四棱锥为正四棱锥，设该四棱锥的棱长为，则，，， 所以. 故选：B. 【点睛】 思路点睛： 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 3．（2021·浙江高一期末）已知正方体，、分别是正方形和的中心，则和所成的角的大小是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 作出图形，连接、、，推导出，，可得出异面直线和所成的角为，分析的形状，即可得出结果. 【详解】 如下图所示，连接、、， 设正方体的棱长为，则， 所以，为等边三角形，则， 因为、分别是正方形和的中心，则、分别是、的中点，所以，， 在正方体中，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 所以，异面直线和所成的角为. 故选：C. 【点睛】 思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 4．（2021·西安市航天城第一中学高一期末）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（ ） A． B．- C．2 D． 【答案】A 【分析】 如图所示，分别取，，，的中点，，，，则，，，或其补角 为异面直线与所成角． 【详解】 解：如图所示， 分别取，，，的中点，，，，则，，， 或其补角为异面直线与所成角． 设，则，， ， 异面直线与所成角的余弦值为， 故选：A． 【点睛】 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： ①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 5．（2019·浙江高三其他模拟）如图，在长方体中，点为底面矩形的对角线的交点，点为的中点，，设直线与直线的夹角为，与底面的夹角为，二面角的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用异面直线所成角、线面角、二面角的定义作出、、的平面角，并比较这三个角的正切值的大小关系，由题可知、、均为锐角，由此可得出这三个角的大小关系. 【详解】 在底面矩形中，点为对角线的交点，所以点为的中点， 又因为，，所以. 因为点为的中点，所以，则，则. 因为底面，所以，则. 过点作，连接，则由