专题05 等比数列的前n项和（重难点突破）-【教育机构专用】2021年春季高二数学辅导讲义(新教材人教A版2019)

专题05 等比数列的前n项和 一、考情分析 二、经验分享 1.等比数列的定义--------（证明或判断等比数列） ， 2.等比数列的通项公式： 或 。 3．等比数列的前 和： ①当 时， ； ②当 时， EMBED Equation.DSMT4 。 4、等比中项： ⑴若 成等比数列，那么A叫做 与 的等比中项， ⑵当 时，则有。 三、题型分析 (一) 累乘法与累加法 例1．数列 满足 ，且 （ ），则数列 前10项的和为 ． 【答案】 【解析】由题意得： 所以 ． 【变式训练1-1】．数列满足：，且，求． 【答案】． 【解析】，，，， 累加可得：，． 【变式训练1-2】．数列中，若，，则______． 【答案】 【解析】∵，，则，∴．故答案为． 【变式训练1-3】．（2020·六盘山高级中学高三期中（文））已知数列 满足 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用已知条件得到 ，再用累加法求出数列的通项，用裂项相消法求数的和. 【详解】 由 得： ， 即 ， 所以 . 故选：A. 【点睛】 方法点睛：递推公式求通项公式，有以下几种方法： 1.型如： 的数列的递推公式，采用累加法求通项； 2.形如： 的数列的递推公式，采用累乘法求通项； 3.形如： 的递推公式，通过构造转化为 ，构造数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， 4.形如： 的递推公式，两边同时除以 ，转化为 的形式求通项公式； 5.形如： ，可通过取倒数转化为等差数列求通项公式. 【变式训练1-4】．（2021·宁夏吴忠市·吴忠中学高二期末（理））已知数列 满足 ， ，则数列 的前 项和 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用倒数法求出数列 的通项公式，进而利用裂项相消法可求得 . 【详解】 已知数列 满足 ， ， 在等式 两边同时取倒数得 ， ， 所以，数列 是等差数列，且首项为 ，公差为 ，则 ， ， ， 因此， EMBED Equation.DSMT4 . 故选：B. 【点睛】 使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． (二) 已知数列的前n项和，求通项公式 例2．已知数列的前项和，且满足，则（ ） . . . . 【答案】B 【解析】， 时， ，解得 ． 时， ，解得 时， ，可得： ∴数列是等比数列，首项为3，公比为2． ，选B 【变式训练2-1】．已知等比数列的前项和为，且满足，则的值为（ ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，当时，，故当时，， ∵数列是等比数列，则，故；解得．故选C． 【变式训练2-2】．（2019·吉林省实验高一期末（文））已知数列的前项和为，，，则__________． 【答案】 【解析】当时，则有，； 当时，由得出， 上述两式相减得，，得且， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，， 那么，因此，，故答案为：. 【变式训练2-3】．（2019·山东高考模拟（文））已知等比数列中，，前三项之和，则公比的值为（ ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】C 【解析】等比数列中，，前三项之和， 若，，，符合题意； 若，则， 解得，即公比的值为1或，故选C. (三) 等比数列的前n项和的性质 例3．（2020·全国高二课时练习）设 为数列 的前 项和， ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据等比数列的求和公式，先求出 ，再根据等比数列的求和公式，以及分组求和的方法，即可求出结果. 【详解】 ∵ ， ∴ . 故选：D. 【变式训练3-1】．（2021·全国高二课时练习）已知数列 的通项公式 ，则数列 的前5项和 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据等比数列的求和公式，以及分组求和的方法，即可求出结果. 【详解】 因为 ， 所以则数列 的前5项和 . 故选：C 【变式训练3-2】．（2021·广东湛江市·高二期末）设 是等差数列 的前n项和，且 ， 则（ ） A． B．公差 C． D．数列 的前n项和为 【答案】BCD 【分析】 根据已知条件求出等差数列 的通项公式和前 项和公式，即可判断选项 、 、 ， 再利用裂项求和即可判断选项D. 【详解】 因为数列 是等差数列，则 ，解得： ，故选项B正确； 所以 ， 对于选项A： ，故选项A不正确； 对于选项C： ，所以故选项C正确； 对于选项D： ， 所以前n项和为 ，故选项D正确， 故