专题04 等比数列（重难点突破）-【教育机构专用】2021年春季高二数学辅导讲义(新教材人教A版2019)

专题04 等比数列 一、考情分析 二、经验分享 1.等比数列的定义--------（证明或判断等比数列） ， 2.等比数列的通项公式： 或 。 3．等比数列的前 和： ①当 时， ； ②当 时， EMBED Equation.DSMT4 。 4、等比中项： ⑴若 成等比数列，那么A叫做 与 的等比中项， ⑵当 时，则有。 三、题型分析 (一) 等比数列的概念及其定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母 表示 ，即： ＝q 例1．(1).已知{an}是等比数列，,则公比q=（ ） A． B．-2 C．2 D． 【答案】D 【解析】由，解得 (2).（2021·山东聊城市·高二期末）下图中的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯.在图中4个大正方形中，着色的正方形的个数依次构成一个数列 的前4项，则数列 的一个通项公式为______. 【答案】 【分析】 根据图象的规律，得到前后两项的递推关系，然后利用迭代法求通项，并利用等比数列求和. 【详解】 由图分析可知 ， ， ， 依次类推， ， 数列 是首项为1，公比为8的等比数列，所以 ， 故答案为： 【点睛】 关键点点睛：本题的关键是迭代法求通项，重点是得到前后两项的递推关系. 【变式训练1-1】 （2020·江苏省江阴市第一中学高二期中）(多选题)关于递增等比数列 ，下列说法不正确的是（ ） A．当 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】 利用等比数列单调性的定义，通过对首项 ，公比 不同情况的讨论即可求得答案． 【详解】 ，当 时，从第二项起，数列的每一项都大于前一项，所以数列 递增，正确； ，当 ， 时， 为摆动数列，故错误； ，当 ， 时，数列 为递减数列，故错误； ，若 ， 且取负数时，则 为 摆动数列，故错误， 故选：BCD． 【点睛】 本题考查等比数列的单调性的判断，意在考查对基础知识的掌握情况，属基础题． 【变式训练1-2】（2021·湖北高三月考）已知等比数列 中， ， ，则 （ ） A．1 B．2 C．±1 D．±2 【答案】B 【分析】 根据等比数列通项公式列方程计算即可. 【详解】 等比数列 中， ， ， 则 ，解得 ， 故选：B． 【变式训练1-3】 （2021·全国高二单元测试）设数列{an}是等比数列，公比q=2，则 的值是（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】 由题意，等比数列 的公比为 ，结合等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】 解：∵q=2，∴2a1=a2，2a3=a4， ∴ . 故选：D 【点睛】 本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式，准确计算是解答的关键. 【变式训练1-4】 （2021·全国高三开学考试（文））数列 是等比数列， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由已知条件可求出等比数列的公比 ，进而可求出首项 ，从而可求得结果 【详解】 解：设等比数列的公比为 ，则 ，解得 ， 所以 ，解得 所以 ， 故选：C. 【变式训练1-5】（2021·浙江高三开学考试）数列 是等比数列，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据题意求得数列 的公比 ，结合等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】 设等比数列 的公比为 ， 因为 ，可得 ，所以 ， 所以数列 构成首项为 ，公比为 的等比数列， 则 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 . 故选：A. 【变式训练1-6】（2021·甘肃省永昌县第一高级中学高三期末（文））在等比数列 中， ， ，则 （ ）． A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】 设等比数列的公比为 ，根据题中条件，求出 ，进而可求出首项. 【详解】 设等比数列 的公比为 ， 因为 ， ，所以 ，则 ， 因此 ，解得 . 故选：C. 【变式训练1-7】（2021·江苏苏州市·苏州中学高二开学考试）我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙.大老鼠第一天打进 1尺，以后每天进度是前一天的 倍.小老鼠第一天也打进 尺，以后每天进度是前一天的一半.如果墙的厚度为 尺，则两鼠穿透此墙至少在第（ ） A． 天 B． 天 C． 天 D． 天 【答案】B 【分析】 设两只老鼠在第 天相遇，利用等比数列的求和公式列方程可求得 的范围，即可得解. 【详解】 设两只老鼠在第 天相遇，则大老鼠第 天打洞的厚度成以 为公比的等比数列， 小老鼠第 天打洞的厚度成以 为公比的等比列， 由等比数列的求和公式可得