2.3.1数乘向量 教案-河南省新蔡县第一高级中学2020-2021学年高一年级北师大版数学必修四

§2.3.1数乘向量 【学习目标】 1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义. 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算. 3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题． 教学重点、难点 重点:理解向量共线定理，并应用其解决相关问题． 难点:会利用向量共线定理判断三点共线及线线平行． 【知识梳理】 1．数乘向量的定义 实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且λa的长|λa|＝|λ||a|. λa(a≠0)的方向 当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0.数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小． 2.向量数乘的运算律 设a，b为向量，λ，μ为实数，则数乘向量满足： ①结合律：λ(μa)＝(λμ)a； ②分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb. 3．向量共线的判定定理和性质定理 (1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得__b＝λa__，则向量b与非零向量a共线． (2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数λ，使得__b＝λa__. 4.向量的线性运算 向量的加法、减法和实数与向量积的综合运算，通常称为向量的线性运算(或线性组合)． 教学过程 一、课前预习 思考1　实数与向量相乘的结果是实数还是向量？ 思考2　向量3a，－3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？ 思考3　λa的几何意义是什么？ 二、例题讲解 [典例1]　已知a，b为两非零向量，试判断下列说法的正误，并说明理由． (1)2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍； (2)－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a模的； (3)－2a与2a是一对相反向量； (4)a－b与－(b－a)是一对相反向量． [思路分析]　解答本题可先从实数的正负判断两向量的方向关系，再找两向量模的关系，从而作出判断． [解析]　(1)正确．∵2>0，∴2a与a方向相同且|2a|＝2|a|. (2)正确．∵5>0，∴5a与a方向相同，且|5a|＝5|a|，而－2<0， ∴－2a与a的方向相反，且－2a的模是5a模的倍． (3)正确，按照相反向量的定义可以判断． (4)错误，因为－(b－a)与b－a是一对相反向量，而a－b与b－a是一对相反向量，故a－b与－(b－a)为相等向量