北京市平谷区2020-2021学年高三下学期质量监控数学试卷（PDF版有答案）

平谷区2020-2021学年度第二学期质量监控 高三数学试卷参考答案 一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B A C B D A D 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共25分. 注：第15题第一空3分,第二空2分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得分，其它得3分。 11. ； 12.2； 13.-1；0. 14. 中的一个值； 15. ②; ③ . 三、解答题：（本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 16.(本小题满分13分) 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD， . （I）求证：PB // 平面ACM； （II）求二面角的大小 （Ⅰ）证明：连接,与交于，在中， 因为 ，分别为，的中点， 所以 .………… 4分 因为 平面，平面， 所以 平面. ………… 6分 (Ⅲ) 因为ABCD是正方形，为正三角形，E是AB的中点， ( D A B C P E z x y M )所以PE⊥AB .又因为面PAB⊥底面ABCD， 所以平面ABCD…………8分 过作平行于与交于. 以为原点，分别以为轴， 建立空间直角坐标系，…………9分 则，， ，，． ………10分 所以，， 设平面的法向量为，则 ，,令．则 得．…………11分 因为PE⊥平面ABCD， 所以平面ABCD的法向量， 所以．………… 12分 所以二面角的大小为………… 13分 17. (本小题满分13分) 在锐角△中，角的对边分别为，且． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：△的面积． ① ②，， 解（Ⅰ）因为，由正弦定理…………. 5分 所以…………. 7分 所以…………. 8分 （Ⅱ）解法一：因为 根据余弦定理得 ， ………………9分 化简为 ，解得 ． ………………11分 所以 △的面积． ………………13分 解法二：因为 ，， 根据正弦定理得 ， ……………7分 所以 ． ………………8分 因为 ， ………………9分 所以 ， ………………11分 所以 △的面积． ………………13分 18. (本小题满分14分) 随着人民生活水平的提高，人们对牛奶需求越来越大，品质要求越来越高，某牛奶企业针对生产的鲜奶和和酸奶，在一地区进行了质量满意度调查，现从中随机抽取500人次作为样本，得到下表（单位：人次）： 满意度 老年人 中年人 青年人 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 满意 100 120 120 100 150 120 不满意 50 30 30 50 50 80 (Ⅰ)从样本中任取1个人，求这个人恰好对生产的酸奶满意的概率； (Ⅱ)从该地区的老年人中抽取2人，青年人中随机选取1人，估计这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率； (Ⅲ) 依据表中三个年龄段的数据，哪部分人对鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？ （直接写结果） 解：(Ⅰ)设这个人恰好对生产的酸奶满意人数事件为A,总人次为500人, 共抽取了100+120+150=370人次对酸奶满意, 所以.…………5分 (Ⅱ)由频率估计总体，由已知抽取老年人满意度的概率为,抽取青年人满意度的概率为,抽取这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率， ， 所以这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率为.…………11分 (Ⅲ)青年人 …………14分 19．(本小题满分15分) 已知椭圆的离心率为，并且经过点 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设过点的直线与轴交于点，与椭圆的另一个交点为，点关于轴的对称点为，直线交轴于，求证：为定值。 解：（Ⅰ）由已知 解得 所以椭圆 ：.…………5分 （Ⅱ）证明：由已知斜率存在 以下给出证明： 由题意，设直线的方程为,,，则. ………….7分 由 得 ， ……………… 9分 所以 ， ，. 所以即 …………11分 直线的方程为 令得所以 令由得所以………