专题2.3 三角恒等变换与解三角形（全国Ⅲ）-2021【步步高】高考理数大二轮专题复习与增分策略（桂贵云川藏）课件

专题二　三角函数与解三角形 第3讲　三角恒等变换与解三角形 1 考情分析 KAO QING FEN XI 1.三角恒等变换的求值、化简是命题的热点，利用三角恒等变换作为 工具，将三角函数与解三角形相结合求解最值、范围问题. 2.单独考查可出现在选择题、填空题中，综合考查以解答题为主， 中等难度. 内 容 索 引 考点一 考点二 专题强化练 1 考点一　三角恒等变换 PART ONE 核心提炼 1.三角求值“三大类型” “给角求值”“给值求值”“给值求角”. 2.三角恒等变换“四大策略” (1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等. (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等. (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次. (4)弦、切互化. √ √ 所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) 易错提醒 (1)公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况. (2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解. －2 2 考点二　正弦定理、余弦定理 PART TWO 核心提炼 考向1　求解三角形中的角、边 例2　(2020·青岛模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A). (1)求角C； 条件①：△ABC的面积S＝4且B>A； 解　在△ABC中，由余弦定理知， b2＋c2－a2＝2bccos A， 所以2b2＝2bccos A(1－tan A)， 所以b＝c(cos A－sin A)， 得sin B＝sin C(cos A－sin A)， 所以sin(A＋C)＝sin C(cos A－sin A)， 即sin Acos C＋cos Asin C＝sin Ccos A－sin Csin A， 所以sin Acos C＝－sin Csin A， 因为sin A≠0，所以cos C＝－sin C， 所以tan C＝－1， (2)若c＝2 ，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度. 条件①：△ABC的面积S＝4且B>A； 因为sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋sin Ccos B 在△ABD中，由余弦定理知AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B (答案不唯一) 考向2　求解三角形中的最值与范围问题 例3　已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝120°. (1)若a＝2b，求tan A的值； 解　方法一　由a＝2b及正弦定理，知sin A＝2sin B， 即sin A＝2sin(60°－A)， 方法二　∵c2＝a2＋b2－2abcos C (2)若∠ACB的平分线交AB于点D，且CD＝1，求a＋b的最小值. 解　∵S△ACD＋S△BCD＝S△ABC， 即a＋b＝ab， 当且仅当a＝b时等号成立， ∴a＋b的最小值为4. 规律方法 (1)利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角.利用正弦定理求边，必须知道两角及其中一边，且该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性. (2)三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围. 跟踪演练2　(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且a＝1，4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为 A.4π B.2π C.π D. √ 解析　由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bccos A，a＝1， 所以b2＋c2－1＝2bccos A， √ ＝2cos2B＋cos 2B＝2cos 2B＋1， 所以c＝4. 3 专题强化练 PART THREE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析　由3cos 2α－8cos α＝5， 得3(2cos2α－1)－8cos α＝5， 即3cos2α－4cos α－4＝0， 又因为α∈(0，π)，所以sin α>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 所以AB＝3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝