专题1.5 母题突破1 导数与不等式的证明（全国Ⅲ）-2021【步步高】高考理数大二轮专题复习与增分策略（桂贵云川藏）课件

专题一　函数与导数 第5讲　导数的综合应用 1.导数逐渐成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调 性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、 数列等的交汇命题是高考的热点和难点. 2.多以解答题压轴形式出现，难度较大. 考情分析 KAO QING FEN XI 内 容 索 引 母题突破1　 专题强化练 母题突破1　导数与不等式的证明 母题　(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x. (1)讨论f(x)的单调性； 母题突破1　导数与不等式的证明 解　f(x)的定义域为(0，＋∞)， 若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0， 故f(x)在(0，＋∞)上单调递增. ❹构造函数证明 思路分析　 当x∈(0,1)时，g′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0. 所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. 故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0. 所以当x>0时，g(x)≤0. 当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增， ∴f(x)＝ln x－x＋1≤f(1)＝0，∴ln x≤x－1， ∴当x>1时，ln x<x－1， ① 证明　设g(x)＝f(x)－(e－2)x－1＝ex－x2－(e－2)x－1(x>0)， 则g′(x)＝ex－2x－(e－2)， 设m(x)＝ex－2x－(e－2)(x>0)， 则m′(x)＝ex－2， 易得g′(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增， 又g′(0)＝3－e>0，g′(1)＝0， 由0<ln 2<1，则g′(ln 2)<0， 所以存在x0∈(0，ln 2)，使得g′(x0)＝0， 所以当x∈(0，x0)∪(1，＋∞)时，g′(x)>0； 当x∈(x0,1)时，g′(x)<0. 故g(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 又g(0)＝g(1)＝0，所以g(x)＝ex－x2－(e－2)x－1≥0， 又由母题可得ln x≤x－1，即x≥ln x＋1， 规律方法 利用导数证明不等式f(x)>g(x)的基本方法 (1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min>g(x)max. (2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)>0. (3)通过题目中已有的或常用的不等式进行证明. (4)利用赋值法证明与正整数有关的不等式. 跟踪演练 1.(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－ln x－1. (1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间； 当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0. 所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2). 当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0. 所以x＝1是g(x)的最小值点. 故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0. 证明　f(x)的定义域为(0，＋∞)， 只需证明ln x－1－ax2<－x，即ln x<ax2－x＋1， 令m′(x)>0，得0<x<1；令m′(x)<0，得x>1， 所以m(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以m(x)max＝m(1)＝0， 即ln x－x＋1≤0，则ln x≤x－1. 令n(x)＝ax2－2x＋2， 因为1<a<2，所以Δ＝4－8a<0， 所以n(x)>0恒成立，即ax2－2x＋2>0， 所以ax2－x＋1>x－1. 综上所述，ln x<ax2－x＋1， 即当1<a<2时，f(x)<－1. 1.已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝x＋m(m∈R). (1)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数m的取值范围； 专题强化练 解　令F(x)＝f(x)－g(x)＝ln x－x－m(x>0)， 1 2 当x>1时，F′(x)<0，当0<x<1时，F′(x)>0， 所以F(x)在(1，＋∞)上单调递减，在(0,1)上单调递增，F(x)在x＝1处取得最大值－1－m， 若f(x)≤g(x)恒成立，则－1－m≤0，即m≥－1. (2)已知x1，x2是函数F(x)＝f(x)－g(x)的两个零点，且x1<x2，求证：x1x2<1. 1 2 证明　由(1)可知，若函数F(x)＝f(x)－g(x)有两个零点，则m<－1,0<x1<1<x2， 1 2 由于F(x)在(1，＋∞)上单调递减， 由F(x1)＝F(x2)＝0，m＝ln x1－x1， 1 2 故h(x)在(0,1)上单调递增，h(x)<h(1)＝0， 所以x1