专题一 第3讲　三角恒等变换与解三角形-2021【步步高】高考数学大二轮专题复习与增分策略课件（浙江）专用

专题一　三角函数与解三角形 第3讲　 三角恒等变换与解三角形 内 容 索 引 考点一 考点二 专题强化练 1 考点一　三角恒等变换 PART ONE 核心提炼 1.三角求值“三大类型” “给角求值”“给值求值”“给值求角”. 2.三角恒等变换“四大策略” (1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等. (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等. (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次. (4)弦、切互化. √ √ 所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) 易错 提醒 (1)公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况. (2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解. －2 2 考点二　正弦定理、余弦定理 PART TWO 核心提炼 ＝(b＋c)2－2bc－bc＝(b＋c)2－3bc， 又b＋c＝10， 考向2　求解三角形中的最值与范围问题 例3　已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C＝120°. (1)若a＝2b，求tan A的值； 解　方法一　由a＝2b及正弦定理，知sin A＝2sin B， 即sin A＝2sin(60°－A)， 方法二　∵c2＝a2＋b2－2abcos C (2)若∠ACB的平分线交AB于点D，且CD＝1，求a＋b的最小值. 解　∵S△ACD＋S△BCD＝S△ABC， 即a＋b＝ab， 当且仅当a＝b时等号成立， ∴a＋b的最小值为4. 规律 方法 (1)利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角.利用正弦定理求边，必须知道两角及其中一边，且该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性. (2)三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围. √ 解析　由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bccos A，a＝1， 所以b2＋c2－1＝2bccos A， √ 3 专题强化练 PART THREE 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析　由3cos 2α－8cos α＝5， 得3(2cos2α－1)－8cos α＝5， 即3cos2α－4cos α－4＝0， 又因为α∈(0，π)，所以sin α>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析　由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.(2020·镇海中学适应性考试)在△ABC中，“sin A>sin B”是“cos A<cos B”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析　在△ABC中，sin A>sin B⇔A>B， 又y＝cos x在(0，π)上是减函数， ∴A>B⇔cos A<cos B， ∴在△ABC中“sin A>sin B”是“cos A<cos B”的充要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－2accos B， 因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析　在△ABC中，acos B＋bcos A＝2ccos C， 则sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C， 即sin(A＋B)＝2sin Ccos C， 由余弦定理可得，a2＋b2－c2＝ab， 即(a＋b)2－3ab＝c2＝7， ∴(a＋b)2＝7＋3ab＝25，即a＋b＝5， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B √ 1 2 3 4 5 6