专题一 培优点5　向量极化恒等式-2021【步步高】高考数学大二轮专题复习与增分策略课件（浙江）专用

专题一　三角函数与解三角形 培优点5　向量极化恒等式 解析　设BD＝DC＝m，AE＝EF＝FD＝n，则AD＝3n. 根据向量的极化恒等式， (2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时， 的取值范围是________. [0,2] 解析　由正方体的棱长为2， 当弦MN的长度最大时，MN为球的直径. 设内切球的球心为O， 能力 提升 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题. 跟踪演练 1 2 √ 1 2 解析　如图所示，取AB的中点E， 所以P0为EB的中点，取BC的中点D， 则DP0为△CEB的中位线，DP0∥CE. 根据向量的极化恒等式，必有DP0⊥AB. 因此CE⊥AB，又E为AB的中点，所以AC＝BC. 1 2 2 解析　如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON， 1 2 当且仅当O，N，M三点共线时取等号. 极化恒等式：a·b＝2－2. 变式：a·b＝－，a·b＝－. 如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则·＝2－2. 例　(1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点.·＝4，·＝－1，则·的值为________. 有·＝2－2＝9n2－m2＝4，·＝2－2＝n2－m2＝－1. 联立解得n2＝，m2＝. 因此·＝2－2＝4n2－m2＝. 即·＝. · 得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2. 又∵S△PBC＝S△ABC，S△QBC＝S△ABC， 则·＝2－2＝2－1. 由于P为正方体表面上的动点，故OP∈[1，]，所以·∈[0,2]. 1.已知在△ABC中，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任一点P，恒有·≥·，则 A.∠ABC＝90° B.∠BAC＝90° C.AB＝AC D.AC＝BC 有·＝2－2，·＝2－2. 因为P0B＝AB， 又·≥·，则||≥||恒成立， 2.如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则·的最大值是________. 则·＝2－. 因为OM≤ON＋NM＝AD＋AB＝， 所以·的最大值为2. $