专题二 第2讲　空间中的平行与垂直-2021【步步高】高考数学大二轮专题复习与增分策略课件（浙江）专用

第2讲　空间中的平行与垂直 专题二　立体几何与空间向量 内 容 索 引 考点一 考点二 专题强化练 1 考点一　空间线、面位置关系的判定 PART ONE 核心提炼 判断空间线、面位置关系的常用方法 (1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断，解决问题. (2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断. 例1　(1)已知直线a，b，平面α，β，γ，下列命题正确的是 A.若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，则a⊥γ B.若α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c，则a∥b∥c C.若α∩β＝a，b∥a，则b∥α D.若α⊥β，α∩β＝a，b∥α，则b∥a √ 解析　A中，若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，则a⊥γ，该说法正确； B中，若α∩β＝a，α∩γ＝b，β∩γ＝c， 在三棱锥P－ABC中，令平面α，β，γ分别为平面PAB，平面PAC，平面PBC， 交线a，b，c为PA，PB，PC，不满足a∥b∥c，该说法错误； C中，若α∩β＝a，b∥a，有可能b⊂α，不满足b∥α，该说法错误； D中，若α⊥β，α∩β＝a，b∥α， 正方体ABCD－A1B1C1D1中，令平面α，β分别为平面ABCD，平面ADD1A1，交线a为AD， 当直线b为A1C1时，满足b∥α，不满足b∥a，该说法错误. (2)(2019·全国Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则 A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线 √ 解析　如图，取CD的中点O，连接ON，EO， 因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD， 又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD， 所以EO⊥平面ABCD. 设正方形ABCD的边长为2，则EO＝ ，ON＝1， 所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2. 过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP， 所以BM≠EN.连接BD，BE， 因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点， 即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线. 易错 提醒 (1)定理中的条件理解不全面. (2)直接将平面几何中的结论引入到立体几何中. 跟踪演练1　(1)(2020·镇海中学检测)设m，n是两条异面直线，则下列命题中正确的是 A.过m且与n垂直的平面有且只有一个 B.过m且与n平行的平面有且只有一个 C.过空间一点P与m，n都平行的平面有且只有一个 D.过空间一点P与m，n都垂直的平面有且只有一个 √ 解析　A选项，设过m的平面为β，若n⊥β，则n⊥m，故若m与n不垂直，则不存在过m的平面β与n垂直，故不正确； B选项，过m上一点P作n的平行直线l，则m与l确定一平面α，由l⊂α，n⊄α，故n∥α，正确； C选项，当点P在m或n上，满足条件的平面不存在，故错误； D选项，垂直于同一个平面的两条直线平行，则m∥n，与m，n是两条异面直线矛盾，错误. (2)如图，在四面体A－BCD中，M，N，P，Q，E分别为AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是________.(填序号) ①M，N，P，Q四点共面； ②∠QME＝∠CBD； ③△BCD∽△MEQ； ④四边形MNPQ为梯形. ①②③ 解析　由三角形的中位线定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD. 对于①，有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面， 故①说法正确； 对于②，根据等角定理，得∠QME＝∠CBD，故②说法正确； 对于③，由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故③说法正确； 对于④，由三角形的中位线定理，知MQ∥BD，MQ＝ BD，NP∥BD，NP＝ BD，所以MQ＝NP，MQ∥NP，所以四边形MNPQ是平行四边形，故④说法不正确. 2 考点二　空间平行、垂直关系 PART TWO 核心提炼 平行关系及垂直关系的转化 考向1　平行、垂直关系的证明 例2　(2020·丽水调研)如图，四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点.求证： (1)PA∥平面BDE； 证明　如图，AC∩BD＝O，连接OE， 在△PAC中，O是AC的中点，E是PC的中点， ∴OE∥AP， 又∵OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE. ∴PA∥平面BDE. (2)平面PAC⊥平面BDE. 证明　∵PO⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD， ∴PO⊥BD， 又∵AC⊥BD，且AC∩PO＝O，AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC， ∴BD⊥平面PA