专题二 第3讲　空间角-2021【步步高】高考数学大二轮专题复习与增分策略课件（浙江）专用

第3讲　空间角 专题二　立体几何与空间向量 内 容 索 引 考点一 考点二 考点三 专题强化练 1 考点一　异面直线所成的角 PART ONE 核心提炼 1.几何法：按定义作出异面直线所成的角(即找平行线)，解三角形. √ 解析　方法一　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A′B′BA－A1′B1′B1A1. 连接B1B′，由长方体性质可知，B1B′∥AD1， 所以∠DB1B′为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角. 方法二　如图，以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D－xyz. (2)已知异面直线a，b所成的角为50°，过空间一定点P最多可作n条直线与直线a，b均成θ角，则下列判断不正确的是 A.当θ＝65°时，n＝3 B.当n＝1时，θ只能为25° C.当θ＝30°时，n＝2 D.当θ＝75°时，n＝4 √ 解析　将空间直线平移，异面直线的夹角不变， 则可将异面直线a，b平移到同一平面α内，使得点P为平移后的直线a′，b′的交点， 则当0°≤θ<25°时，n＝0；当θ＝25°时，n＝1， 此时该直线为直线a′，b′所成锐角的角平分线所在的直线； 当25°<θ<65°时，n＝2，此时这两条直线在平面α内的投影为直线a′，b′所成锐角的角平分线所在的直线； 当θ＝65°时，n＝3，此时其中两条直线在平面α内的投影为直线a′，b′所成锐角的角平分线所在的直线，另一条直线为直线a′，b′所成钝角的角平分线所在的直线； 当65°<θ<90°时，n＝4，此时其中两条直线在平面α内的投影为直线a′，b′所成锐角的角平分线所在的直线，另外两条直线在平面α内的投影为直线a′，b′所成钝角的角平分线所在的直线； 当θ＝90°时，n＝1，此时直线为过点P且与平面α垂直的直线. 综上所述，B选项的说法错误，故选B. 规律 方法 (1)运用几何法求异面直线所成的角一般是按找—证—求的步骤进行. (2) 两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cos α＝|cos β|. 跟踪演练1　(2020·湖州质检)如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，O为BC的中点，动点P在线段OB上(不含端点)，记∠APC＝θ，现将△APC沿AP折起至△APC′，记异面直线BC′与AP所成的角为α，则下列结论一定成立的是 √ 所以θ>α，故选A. 2 考点二　直线与平面所成的角 PART TWO 1.几何法：按定义作出直线与平面所成的角(即找到斜线在平面内的投影)，解三角形. 2.向量法：设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为μ＝(a2，b2，c2)，设直线l与平面α的夹角为 核心提炼 例2　(2020·宁波余姚中学月考)如图，已知在三棱锥P－ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB＝BC＝PA＝ PC＝2，∠ABC＝120°. (1)求证：PA⊥BC； 证明　AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，由余弦定理得 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC 又PA2＋AC2＝4＋12＝16＝PC2，故PA⊥AC. 又平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC，故PA⊥平面ABC. 又BC⊂平面ABC，故PA⊥BC. (2)设点E为PC的中点，求直线AE与平面PBC所成角的正弦值. 解　方法一　由(1)知PA⊥平面ABC，故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz. 设平面PBC的法向量m＝(x，y，z)， 设直线AE与平面PBC所成的角为θ， 设点A到平面PBC的距离为d， 则由VP－ABC＝VA－PBC得， 设直线AE与平面PBC所成的角为θ， 易错 提醒 (1)解题时要建立右手直角坐标系. (2)注意求线面角的公式中sin θ＝|cos〈a，u〉|，线面角的取值范围是 . 跟踪演练2　如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，M为线段BC的中点，D为线段BC上一点，且BD＝BA，沿直线AD将△ADC翻折至△ADC′，使AC′⊥BD. (1)证明：平面AMC′⊥平面ABD； 证明　因为△ABC为等腰三角形，M为BC的中点， 所以AM⊥BD， 又因为AC′⊥BD，AM∩AC′＝A，AM，AC′⊂平面AMC′， 所以BD⊥平面AMC′， 因为BD⊂平面ABD，所以平面AMC′⊥平面ABD. (2)求直线C′D与平面ABD所成的角的正弦值. 解　在平面AC′M中，过C′作C′F⊥AM交直线AM于点F，连接FD. 由(1)知，平面AMC′⊥平面ABD， 又平面AMC′∩平面ABD＝AM，C′F⊂平面AMC′， 所以C′F⊥平面ABD. 所以∠C′DF为直线C′D与平面ABD所成