专题二 培优点6　截面问题-2021【步步高】高考数学大二轮专题复习与增分策略课件（浙江）专用

培优点6　截面问题 专题二　立体几何与空间向量 用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键. 例1　(1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在AB，BC，DD1上，求作过E，F，G三点的截面. 解　作法：①在底面AC内，过E，F作直线EF，分别与DA，DC的延长线交于L，M. ②在侧面A1D内，连接LG交AA1于K. ③在侧面D1C内，连接GM交CC1于H. ④连接KE，FH.则五边形EFHGK即为所求的截面. (2)作出过正三棱柱ABC－A1B1C1的底边BC及两底面中心连线OO1中点的截面. 解　作法：①过A1A和OO1作平面AOO1A1，交BC于D，交B1C1于D1， 则D，D1分别为BC，B1C1的中点. ②取OO1的中点M，在平面A1AM内， 作直线DM交上底面A1B1C1于点G. ③在平面A1B1C1内，过G作EF∥B1C1， 交A1B1于E.交A1C1于F. ④连接BE，CF.则多边形BCFE为所求. (3)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱B1B，B1C1的中点，点G是棱C1C的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的截面图形为 A.矩形 B.三角形 C.正方形 D.等腰梯形 √ 解析　取BC的中点H，连接AH，GH，AD1，D1G， 由题意得GH∥EF，AH∥A1F， 又GH⊄平面A1EF，EF⊂平面A1EF， ∴GH∥平面A1EF，同理AH∥平面A1EF， 又GH∩AH＝H，GH，AH⊂平面AHGD1， ∴平面AHGD1∥平面A1EF， 故过线段AG且与平面A1EF平行的截面图形为四边形AHGD1，显然为等腰梯形. √ 解析　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等， 又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，A1D1平行， 故正方体ABCD－A1B1C1D1的每条棱所在直线与 平面AB1D1所成的角都相等. 取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中点E，F，G，H，M，N， 则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大， 此截面面积为 (2)如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________. S3<S2<S1 解析　由题意知OA，OB，OC两两垂直， 可将其放置在以O为顶点的长方体中， 设三边OA，OB，OC分别为a，b，c，且a>b>c， 利用等体积法易得 同理，平方后作差可得，S2>S3，∴S3<S2<S1. 能力 提升 确定截面的主要依据有 (1)平面的四个公理及推论. (2)直线和平面平行的判定和性质. (3)两个平面平行的性质. (4)球的截面的性质. 跟踪演练 √ 1 2 3 4 解析　如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1， ∵α∥平面CB1D1，∴m1∥m， 又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1， ∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m，同理可得CD1∥n. 故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等， 即∠CD1B1的大小. 而B1C＝B1D1＝CD1(均为面对角线)， 1 2 3 4 1 2 3 4 2.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________. 1∶47 解析　设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积 1 2 3 4 所以V1∶V2＝1∶47. 1 2 3 4 3.P，Q，R三点分别在直四棱柱AC1的棱BB1，CC1和DD1上，试写出过P，Q，R三点的截面作法. 解　作法：(1)连接QP，QR并延长，分别交CB，CD的延长线于E，F. (2)连接EF交AB于T，交AD于S. (3)连接RS，TP.则五边形PQRST即为所求截面. 1 2 3 4 4.已知直四棱柱AC1，P在平面D1DCC1内，Q在平面A1ADD1内，R在棱BB1上，作出过P，Q，R三点的截面. 1 2 3 4 解　作法：(1)过P作PP′⊥CD于点P′，过Q作QQ′⊥AD于Q′. (2)在底面ABCD内连接AP′，BQ′，并交于点H. (3)由平行线QQ′，RB作平面QQ′BR，连接QR. (4)在平面QQ′BR内，过H作KH⊥平面ABCD， 交QR于点K. (5)由平行线PP′，AA1作平面PP′AA1， 则K必落在平面PP′AA1内. (6)在平面PP′AA1内，连接PK，并延长交A