第1讲　函数与方程思想-2021【步步高】高考数学大二轮专题复习与增分策略课件（浙江）专用

思想方法 高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值.高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查.如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决.高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等. 第1讲　函数与方程思想 思想概述　函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决. 方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得以解决. 内 容 索 引 方法一 方法二 方法三 在理解函数的定义域、值域、性质等本质的基础上，主动、准确地运用它们解答问题.常见问题有：求函数的定义域、解析式、最值，研究函数的性质. 方法一　运用函数相关概念的本质解题 √ 思路分析　先求出f(x)＝ax是减函数时a的范围→满足－0＋3a≥a0时a的范围→取交集 解析　∵函数f(x)是R上的减函数， 批注 在函数的第一段中，虽然没有x＝0，但当x＝0时，本段函数有意义，故可求出其对应的“函数值”，且这个值是本段的“最小值”，为了保证函数是减函数，这个“最小值”应不小于第二段的最大值，即f(0)，这是解题的一个易忽视点.究其原因，就是未把分段函数看成是一个函数，一个整体. 批注 在函数第二段中虽然没有x＝±1，为了保证函数在R上是增函数，要求x＋ 在x＝1时的值大于等于f(1)，保证了函数的整体性. 规律方法 解答本题，首先要明确分段函数是一个函数.分段函数是减函数，要求函数的各段图象及衔接处都是下降趋势；分段函数是奇函数，定义域中每个x，都满足f(－x)＝－f(x). 函数与方程相互联系，借助函数的性质可以解决方程解的个数及参数取值范围的问题. 例2　(1)(2020·全国Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则 A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a<b2 方法二　利用函数性质求解方程问题 √ 解析　由指数和对数的运算性质可得 2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b. 令f(x)＝2x＋log2x， 则f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log22b， ∴2a＋log2a<22b＋log22b， 即f(a)<f(2b)，∴a<2b. (2)设x，y为实数，满足(x－1)3＋2 020(x－1)＝－1，(y－1)3＋2 020(y－1)＝1，则x＋y＝____. 思路分析　观察两方程形式特征→借助函数f(t)＝t3＋2 020t的单调性、奇偶性→f(x－1)＝f(1－y)→求出x＋y 2 解析　令f(t)＝t3＋2 020t，则f(t)为奇函数且在R上是增函数. 由f(x－1)＝－1＝－f(y－1)＝f(1－y)， 可得x－1＝1－y，∴x＋y＝2. 批注 通过方程的特征构造函数，利用函数性质寻求变量间的关系. 例3　已知a，b为不全为0的实数，求证：方程3ax2＋2bx－(a＋b)＝0在(0,1)内至少有一个实数根. 思路分析　方程至少有一个根→函数至少有一个零点→零点存在性定理 所以f(x)在(0,1)内有一个零点； 当a≠0时，令f(x)＝3ax2＋2bx－(a＋b). (1)若a(a＋b)<0， 综上，原方程在(0,1)内至少有一个实数根. 规律方法 函数与方程的相互转化：对于方程f(x)＝0，可利用函数y＝f(x)的图象和性质求解问题. 　　在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为函数的性质，达到化繁为简，化难为易的效果. 例4　求使不等式2x－1>m(x2－1)对于|m|≤2的一切实数m都成立的x的取值范围. 思路分析　恒成立问题→函数最值问题→构造关于m的一次函数 方法三　构造函数解决一些数学问题 解　构造函数f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，m∈[－2,2]， 例5　 (2020·杭州模拟)在矩形ABCD中，AD＝1，点E为线段CD的中点，如图所示，将△AED沿着AE翻折至△AED′(点D′不在平面ABCD内)，记线段CD′的中点为F，若三棱锥F－AED′体积的最大值为 ，则线段AB长度的最大值为_____. 思路分析　求VF－AED′设AB＝2x，用x表示VF－AED′的最大值，构造函数f(