第2讲　数形结合思想-2021【步步高】高考数学大二轮专题复习与增分策略课件（浙江）专用

思想方法 第2讲　数形结合思想 思想概述　数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确. 内 容 索 引 方法一 方法二 方法三 利用函数图象可直观研究函数的性质，求解与函数有关的方程、不等式问题. 方法一　利用数形结合求解函数与方程、不等式问题 √ 思路分析　g(x)恰有1个零点函数f(x)的图象和直线y＝a(x－1)恰有1个交点画图观察求a的范围 解析　函数y＝f(x)与函数y＝a(x－1)的图象恰有1个交点， 当x≤1时，由f′(x)＝2x－3得f′(1)＝－1； 由图可得－1≤a≤0或a≥1. 例2　当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则底数a的取值范围为___________. {a|1<a≤2} 解析　设y＝(x－1)2，y＝logax， 在同一坐标系中作出它们的图象，如图所示. 若0<a<1，则当x∈(1,2)时，(x－1)2<logax是不可能的， 所以底数a的取值范围为{a|1<a≤2}. 规律方法 方程解的个数问题可通过构造函数，转化为函数图象的交点个数问题；f(x)<g(x)可转化为函数y＝f(x)和函数y＝g(x)图象的位置关系问题. 向量、复数等数学概念具有明显的几何意义，可利用图形观察求解有关问题；灵活应用一些几何结构的代数形式，如斜率、距离公式等. 方法二　利用数学概念表达式的几何意义求解最值、范围问题 9 则P，E，D三点共线(如图所示)， 所以点P为△ABC的外心， 所以DE是BC边的中垂线， 所以BE＝CE＝2AE， 则由阿氏圆得点E的轨迹为半径为2的圆(不含直线AB与圆的交点)， 所以点E到直线AB的距离的最大值为2， 思路分析　求x2＋y2的取值范围→P(x，y)和O(0，0)距离的范围→点到直线的距离 解析　已知不等式组所表示的平面区域如图所示(阴影部分含边界)， x2＋y2表示原点到可行区域内的点的距离的平方. (x2＋y2)max＝|OA|2＝22＋32＝13. 规律方法 应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式—可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离. 对一些几何动态中的代数求解问题，可以结合各个变量的形成过程，找出其中的相互关系求解. 例5　已知抛物线的方程为x2＝8y，点F是其焦点，点A(－2,4)，在抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，求此时点P的坐标. 思路分析　△APF的周长最小→结合抛物线定义转化|PF|＝|PQ|→结合图形观察三边关系求最值 方法三　几何动态问题中的数形结合 解　因为(－2)2<8×4，所以点A(－2,4)在抛物线x2＝8y的内部， 如图，设抛物线的准线为l， 过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ. 则△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值， 即|AB|＋|AF|. 因为A(－2,4)，所以不妨设△APF的周长最小时， 批注 通过定义转化|PF|＝|PQ|，利用三角形两边之和大于第三边，两次放缩，图形间的关系是解题关键. 规律方法 几何图形有关的最值问题，若通过代数方法计算则小题大做，计算繁杂，解题时要充分考虑几何关系，充分利用“三角形两边之和大于第三边”、“两点之间线段最短”等几何结论. 例1　(2020·浙江新高考名校仿真)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)－ax＋a，若g(x)恰有1个零点，则a的取值范围是 A.[－1,0]∪[1，＋∞) B.(－∞，－1]∪[0,1] C.[－1,1] D.(－∞，－1]∪[1，＋∞) 当x>1时，由f′(x)＝得f′(1)＝1， 所以a应满足解得1<a≤2， 例3　(2020·杭州二中月考)设点P是△ABC所在平面内一动点，满足＝λ＋μ，3λ＋4μ＝2(λ，μ∈R)，||＝||＝||.若||＝3，则△ABC面积的最大值是________. 思路分析　＝λ＋μ3λ＋4μ＝2→构造 三点共线P，E，DE点轨迹→S△ABCmax 解析　由3λ＋4μ＝2(λ，μ∈R)得＋2μ＝1. 又因为＝λ＋μ＝·＋2μ·， 设＝，＝， 且||＝||＝||， 则(S△ABC)max＝3(S△ABE)max＝3××2×3＝9. 例4　已知实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是___________.