第4讲　转化与化归思想-2021【步步高】高考数学大二轮专题复习与增分策略课件（浙江）专用

思想方法 第4讲　转化与化归思想 思想概述　转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式. 内 容 索 引 方法一 方法二 方法三 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案. 方法一　特殊与一般的转化 √ 又过A，B的切线互相垂直， 由题意知交点必在一个与椭圆C同心的圆上， 所以椭圆C的蒙日圆的方程为x2＋y2＝7. (2)(2020·浙江最后一卷押题)已知a，b，c成等差数列，随机变量ε，η的分布列如下，则下列结论正确的是     A.E(ε)＝E(η) B.D(ε)＝D(η) C.E(ε)>E(η) D.D(ε)>D(η) ε 0 1 2 P a b c η 0 1 2 P c b a √ 思路分析　a，b，c成等差数列考虑a＝b＝c的情况计算E(ε)，E(η)，D(ε)，D(η) 解析　由a，b，c成等差数列，得2b＝a＋c， 由分布列的性质得a＋b＋c＝1， 规律方法 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果. 将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决.一般包括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转化. 方法二　命题的等价转化 思路分析　g(x)在(t，3)上总不为单调函数→先看g(x)在(t，3)上单调的条件→补集法求m的取值范围 解析　g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在区间(t,3)上为单调函数， 则①g′(x)≥0在(t,3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t,3)上恒成立. 由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0， 思路分析　f(x)是增函数→1－ax－x2≤2－a对a∈[－1，1]恒成立→g(a)＝(x－1)a＋x2＋1≥0对a∈[－1，1]恒成立→通过g(－1)≥0，g(1)≥0，求x的取值范围 (2)设f(x)是定义在R上的增函数，若f(1－ax－x2)≤f(2－a)对任意a∈[－1,1]恒成立，则实数x的取值范围为_______________________. (－∞，－1]∪[0，＋∞) 解析　∵f(x)是R上的增函数， ∴1－ax－x2≤2－a，a∈[－1,1]. (*) (*)式可化为(x－1)a＋x2＋1≥0对a∈[－1,1]恒成立. 令g(a)＝(x－1)a＋x2＋1. 即实数x的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞). 规律方法 根据命题的等价性对题目条件进行明晰化是解题常见思路；对复杂问题可采用正难则反策略，也称为“补集法”；含两个变量的问题可以变换主元. 函数与方程、不等式紧密联系，通过研究函数y＝f(x)的图象性质可以确定方程f(x)＝0，不等式f(x)>0和f(x)<0的解集. 例3　(2020·全国Ⅱ)若2x－2y<3－x－3－y，则 A.ln(y－x＋1)>0 B.ln(y－x＋1)<0 C.ln|x－y|>0 D.ln|x－y|<0 方法三　函数、方程、不等式之间的转化 √ 解析　∵2x－2y<3－x－3－y， ∴2x－3－x<2y－3－y. ∴x<y，∴y－x＋1>1， ∴ln(y－x＋1)>ln 1＝0. 例4　已知函数f(x)＝eln x，g(x)＝ f(x)－(x＋1).(e＝2.718……) (1)求函数g(x)的极大值； 思路分析　g(x)的极值→ln x<x－1→赋值叠加证明结论 令g′(x)>0，解得0<x<1； 令g′(x)<0，解得x>1. ∴函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴g(x)极大值＝g(1)＝－2. 证明　由(1)知x＝1是函数g(x)的极大值点，也是最大值点， ∴g(x)≤g(1)＝－2， 即ln x－(x＋1)≤－2⇒ln x≤x－1(当且仅当x＝1时等号成立)， 令t＝x－1，得t≥ln(t＋1)(t>－1). 规律方法 借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围. 例1　(1)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C：＋＝1(a>0)的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为 A.x2＋y2