专题一 培优点2 基本不等式的综合问题-2021【步步高】高考文科数学大二轮专题复习与增分策略课件（皖黑吉陕新蒙晋赣青甘豫）通用

培优点2　基本不等式的综合问题 专题一　函数与导数 　　利用基本不等式求最值时，要坚持“一正、二定、三相等”原则，解题时可以对条件灵活变形，满足求最值的条件要求. 例1　(1)已知x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是_____. 解析　由(x＋y)2＝xy＋1， 3 ∴2x＋y＝2x＋(y＋1)－1≥3(当且仅当x＝1，y＝1时取等号)，故2x＋y的最小值为3. 10 ≥20，∴2t≥20，即t≥10. ＝100，∴t2≥100，即t≥10. 能力 提升 (1)运用基本不等式求最值时，可通过配凑变量的系数或加减常数项出现定值，满足基本不等式求最值的条件. (2)将目标函数式中的常数用已知式进行等量代换，或者将目标函数式与已知代数式相乘，然后通过化简变形，求得目标函数的最值. 跟踪演练 1 2 3 4 5 √ 1 2 3 4 ∴3x＋4y的最小值是5. 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 解析　因为a>0，b>0，ab＝1， 4 即a＋b＝4时，等号成立. 5 1 2 3 4 －2 5 1 2 3 4 又易知g(t)在t∈[2，＋∞)上单调递减， 5 得(x＋y)2≤2＋1， 则x＋y≤(当且仅当x＝y＝时取等号)， 故x＋y的最大值为. (2)设x≥0，y≥0，x2＋＝1，则x·的最大值为_____. 故x·的最大值为. 解析　x·＝x· ≤·＝· ＝， (3)已知x>0，y>0，＋＝2，则2x＋y的最小值为____. 解析　∵2x＋(y＋1)＝[2x＋(y＋1)] ＝≥4， 例2　记max{a，b}为a，b两数的最大值，则当正数x，y(x>y)变化时，t＝max的最小值为____. 解析　方法一　由题意知t≥x2，t≥， ∴2t≥x2＋， 又∵x2＋≥x2＋＝x2＋ ∴当正数x，y(x>y)变化时，t＝max的最小值为10. 方法二　由题意知t≥x2>0，t≥>0， ∴t2≥x2·， 又∵x2·≥x2·＝x2· ∴当正数x，y(x>y)变化时，t＝max的最小值为10. 1.若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是 A. B. C.5 D.6 ， 解析　由x＋3y＝5xy，可得＋＝1， ∴3x＋4y＝(3x＋4y) ＝＋＋＋≥＋＝5 ＝4＋2≤4＋(2x－1)＋(5－2x)＝8， 又y>0，所以0<y≤2，当且仅当2x－1＝5－2x， 即x＝时取等号. 故函数的最大值是2. 2.函数y＝＋的最大值是_____. 2 解析　y2＝(＋)2 故＋＋的最小值为4. ＝＋≥2＝4， 当且仅当＝， 3.(2020·天津)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为___. 所以原式＝＋＋ 故当a＝－2时，＋取得最小值. 4.设a＋b＝2，b>0，则当a＝____时，＋取得最小值. 解析　＋＝＋＝＋＋≥－＋2＝， 当且仅当＝且a<0，即a＝－2，b＝4时取等号. 所以g(t)＝≤. 故所求最大值为. 5.若x>0，则函数f(x)＝的最大值为____. 解析　f(x)＝＝， 令t＝x＋≥2，则f(x)可化为g(t)＝， $