专题二 第3讲 三角恒等变换与解三角形-2021【步步高】高考文科数学大二轮专题复习与增分策略课件（皖黑吉陕新蒙晋赣青甘豫）通用

专题二　三角函数与解三角形 第3讲　三角恒等变换与解三角形 考情分析 KAO QING FEN XI 1.三角恒等变换的求值、化简是命题的热点，利用三角恒等变换作为 工具，将三角函数与解三角形相结合求解最值、范围问题. 2.单独考查可出现在选择题、填空题中，综合考查以解答题为主， 中等难度. 内 容 索 引 考点一 考点二 专题强化练 1 考点一　三角恒等变换 PART ONE 核心提炼 1.三角求值“三大类型” “给角求值”“给值求值”“给值求角”. 2.三角恒等变换“四大策略” (1)常值代换：常用到“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等. (2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等. (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次. (4)弦、切互化. √ √ 所以sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) 易错提醒 (1)公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现“张冠李戴”的情况. (2)求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解. √ －2 2 考点二　正弦定理、余弦定理 PART TWO 核心提炼 考向1　求解三角形中的角、边 例2　(2020·湖北省襄阳市四中月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 . (1)求角A的大小； (2)若b＋c＝10，△ABC的面积S△ABC＝4 ，求a的值. ∴bc＝16. 又b＋c＝10，∴a2＝102－3×16＝52， 考向2　求解三角形中的最值与范围问题 例3　(2020·新高考测评联盟联考)在：①a＝ csin A－acos C，②(2a－b)sin A＋(2b－a)sin B＝2csin C这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答. 已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝ ，而且________. (1)求角C； 解　选①： 选②： 因为(2a－b)sin A＋(2b－a)sin B＝2csin C， 所以(2a－b)a＋(2b－a)b＝2c2， 即a2＋b2－c2＝ab， (2)求△ABC周长的最大值. 在△ABC中，由余弦定理得a2＋b2－2abcos C＝3，即a2＋b2－ab＝3， 规律方法 (1)利用余弦定理求边，一般是已知三角形的两边及其夹角.利用正弦定理求边，必须知道两角及其中一边，且该边为其中一角的对边，要注意解的多样性与合理性. (2)三角形中的最值与范围问题主要有两种解决方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是将所求式转化为只含有三角形某一个角的三角函数形式，结合角的范围确定所求式的范围. 跟踪演练2　(1)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且a＝1，4S＝b2＋c2－1，则△ABC外接圆的面积为 A.4π B.2π C.π D. √ 解析　由余弦定理得，b2＋c2－a2＝2bccos A，a＝1， 所以b2＋c2－1＝2bccos A， √ ＝2cos2B＋cos 2B＝2cos 2B＋1， 所以c＝4. 3 专题强化练 PART THREE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析　由3cos 2α－8cos α＝5， 得3(2cos2α－1)－8cos α＝5， 即3cos2α－4cos α－4＝0， 又因为α∈(0，π)，所以sin α>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 所以AB＝3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 化为AB2－4AB＋4＝0，解得AB＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 解析　在△ABC中，acos B＋bcos A＝2ccos C， 则sin Acos B＋sin Bcos A＝2sin Ccos C， 即sin(A＋B)＝2sin Ccos C， 由余弦定理可得，a2＋b2－c2＝ab， 即(a＋b)2－3ab＝c