专题一 第4讲 导数的简单应用-2021【步步高】高考理科数学大二轮专题复习与增分策略课件（京津鲁琼辽鄂苏渝冀）专用

专题一　函数与导数 第4讲　导数的简单应用 考情分析 KAO QING FEN XI 1.导数的计算和几何意义是高考命题的热点，多以选择题、填空题形 式考查，难度较小. 2.应用导数研究函数的单调性、极值、最值多在选择题、填空题靠后 的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题. 内 容 索 引 考点一 考点二 考点三 专题强化练 1 考点一　导数的几何意义与计算 PART ONE 核心提炼 1.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x). (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x). 2.导数的几何意义 (1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率. (2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同. (3)切点既在切线上，又在曲线上. √ 解析　∵f(x)＝x2＋3xf′(2)－ln x， (2)(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________. (e,1) 则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为 则点A的坐标是(e,1). 易错提醒 求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点. 跟踪演练1　(1)直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切，则a等于 A.e B.2e C.1 D.2 √ 解析　设切点为(n，aen＋n)，因为y′＝aex＋1， 所以切线的斜率为aen＋1， 切线方程为y－(aen＋n)＝(aen＋1)(x－n)， 即y＝(aen＋1)x＋aen(1－n)， 依题意切线方程为y＝2x＋1， (2)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是 A.y＝sin x B.y＝ln x C.y＝ex D.y＝x3 √ 解析　对函数y＝sin x求导，得y′＝cos x，当x＝0时，该点处切线l1的斜率k1＝1，当x＝π时，该点处切线l2的斜率k2＝－1，所以k1·k2＝－1，所以l1⊥l2； 对函数y＝ex求导，得y′＝ex恒大于0，斜率之积不可能为－1； 对函数y＝x3求导，得y′＝3x2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1. 2 考点二　利用导数研究函数的单调性 PART TWO 利用导数研究函数单调性的关键 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域. (2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认. (3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况. 核心提炼 解　f(x)的定义域为(0，＋∞)， 若a≤0，当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， f′(x)>0，f(x)单调递增， 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减； 当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)内单调递增； 易错提醒 (1)在求单调区间时“定义域优先”. (2)弄清参数对f′(x)符号的影响，分类讨论要不重不漏. A.a<b<c B.b<c<a C.a<c<b D.c<b<a √ 所以函数g(x)在区间(0，π)上是增函数， 因为f(x)＋f(－x)＝0， 所以函数g(x)是偶函数， 故a<b<c. (2)已知f(x)＝(x2＋2ax)ln x－ x2－2ax在(0，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是 A.{1} B.{－1} C.(0,1] D.[－1,0) √ f′(x)＝2(x＋a)ln x， ∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数， ∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立， 当x＝1时，f′(x)＝0满足题意； 当x>1时，ln x>0，要使f′(x)≥0恒成立， 则x＋a≥0恒成立. ∵x＋a>1＋a，∴1＋a≥0，解得a≥－1； 当0<x<1时，ln x<0，要使f′(x)≥0恒成立， 则x＋a≤0恒成立， ∵x＋a<1＋a，∴1＋a≤0，解得a≤－1. 综上所述，a＝－1. 3 考点三　利用导数研究函数的极值、最值 PART THREE 核心提炼 1.由导函数的图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点 (1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点； (2)由y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的函数值的正负，