专题一 第2讲 基本初等函数、函数与方程-2021【步步高】高考理科数学大二轮专题复习与增分策略课件（京津鲁琼辽鄂苏渝冀）专用

专题一　函数与导数 第2讲　基本初等函数、函数与方程 考情分析 KAO QING FEN XI 1.基本初等函数的图象、性质是高考考查的重点，利用函数性质比较 大小是常见题型. 2.函数零点的个数判断及参数范围是高考的热点，常以压轴题形式出现. 内 容 索 引 考点一 考点二 专题强化练 1 考点一　基本初等函数的图象与性质 PART ONE 核心提炼 1.指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象的异同. 例1　(1)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x) A.有最小值－1，最大值1 B.有最大值1，无最小值 C.有最小值－1，无最大值 D.有最大值－1，无最小值 √ 解析　画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点. 由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|； 在A，B之间，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x). 综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分， 因此h(x)有最小值－1，无最大值. √ 解析　由题意知，方程f(－x)－g(x)＝0在(0，＋∞)上有解， 即e－x＋2－ln(x＋a)－2＝0在(0，＋∞)上有解， 即函数y＝e－x与y＝ln(x＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点. 函数y＝ln(x＋a)可以看作由y＝ln x左右平移得到， 当a＝0时，两函数有交点， 当a<0时，向右平移，两函数总有交点， 当a>0时，向左平移，由图可知，将函数y＝ln x的图象向左平移到过点(0,1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点， 把(0,1)代入y＝ln(x＋a)，得1＝ln a，即a＝e，∴a<e. 规律方法 (1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数. (2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化. √ 解析　当x→＋∞时，f(x)→－∞，故排除D； 函数f(x)的定义域为R，且在R上连续，故排除B； 跟踪演练1　(1)函数f(x)＝ln(x2＋2)－ex－1的大致图象可能是 (2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－ 的解集是 A.(－∞，－1) B.(－∞，－1] C.(1，＋∞) D.[1，＋∞) √ 解析　当x>0时，f(x)＝1－2－x>0. 又f(x)是定义在R上的奇函数， 2 考点二　函数的零点 PART TWO 判断函数零点个数的方法： (1)利用零点存在性定理判断法. (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根. (3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性. 核心提炼 考向1　函数零点的判断 √ 解析　当x≤0时， f′(x)＝(x＋1)ex， 当x<－1时，f′(x)<0， 故f(x)在(－∞，－1)上单调递减， 当－1<x≤0时，f′(x)>0， 故f(x)在(－1,0]上单调递增， 又当x≥1时，f(x)＝3－x，当0<x<1时，f(x)＝x＋1. 作出f(x)的图象，如图所示. 因为g(x)＝f(x)－m有两个不同的零点， 所以方程f(x)＝m有两个不同的根，等价于直线y＝m与f(x)的图象有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为x1，x2， 若1<m<2，则x1＋x2＝2； 若m＝0，则x1＋x2＝3； √ 解析　对于任意的x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)， ∴f(x＋4)＝f[2＋(x＋2)]＝f [2－(x＋2)]＝f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)是一个周期函数，且T＝4. 且f(6)＝1，则函数y＝f(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示， 根据图象可得y＝f(x)与y＝log8(x＋2)在区间(－2,6)上有3个不同的交点，即f(x)－log8(x＋2)＝0在区间(－2,6)上有3个根. 考向2　求参数的值或取值范围 例3　(1)已知关于x的方程9－|x－2|－4·3－|x－2|－a＝0有实数根，则实数a的取值范围是________. [－3,0) 解析　设t＝3－|x－2|(