第3章图形的变换 题型解读5 利用旋转思维解题2020-2021学年北师大版八年级数学下册

《图形的变换》题型解读5 利用旋转思维解题 【知识梳理】 会做旋转的题目、会用用旋转思想巧解几何题，这就是理解与掌握旋转问题的两个层次，只有深入理解与掌握第二个层次：用运用旋转思路帮助解题，才真正学会了旋转问题。 【典型例题】 【对比例子一】 例1.如图，在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC、A′B′交于点O，则∠COA′的度数是_____ 【解析】∵在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠B=50°，∴∠A=180°﹣∠ACB﹣∠B=40°．由旋转的性质可知： BC=B′C，∴∠B=∠BB′C=50°．又∵∠BB′C=∠A+∠ACB′=40°+∠ACB′，∴∠ACB′=10°， ∴∠COA′=∠AOB′=∠OB′C+∠ACB′=∠B+∠ACB′=60°． 例2.已知等腰直角三角形ABC，∠C=90º，M是BC的中点，CD⊥AM，求证：∠AMC=∠DMB. 【解析】不添辅助线好似无从思考，由于题目存在特殊三角形和等边，辅助线首选旋转，将△ACM旋转至△CBE位置，使A与C重合、AC与CB重合，是属旋转中的“空翻模型”。 作BE⊥BC交CD的延长线于点E，∵∠DEB=∠CAM，∠EBC=∠ACM=90º，AC=BC，∴△ACM≌△CBE，∴∠AMC=∠E，BE=CM，∵M是BC的中点，∴BM=CM=BE，由题可知：∠EBD=∠MBD=45º，BD=BD，∴△EBD≌△MBD，∴∠E=∠DMB，∴∠AMC=∠DMB. 【点评】这两道都是求证角度问题，从上面两道例题，我们不难发现它们的不同之处：例1题目已作出了几何变换（旋转），而例2则需要我们通过几何变换（旋转思想）添辅助线，从两题的思路过程及解题过程看，例1由于告之了旋转，自然就会联想到利用旋转性质来解题，而例2，需要利用到旋转思想才能解决，而旋转思想不是题目条件已知的，需要靠我们平时的积累与掌握，难度就会大了很多。所以旋转问题的学习与掌握，有两个层次：一是题目已知旋转的，会利用旋转性质或特征解题；二是题目未知旋转的，会利用旋转思想添辅助线解题。而旋转问题最难攻克的就是旋转思想，利用常见的旋转题目的思路或解题积累，在分析思考意识中形成旋转思维或旋转思想，去解决数学问题，这才是旋转问题真正能压轴的地方。 【对比例子二】