第6章 平行四边形 章末整合提升-【教材解读】2020-2021学年八年级下册初二数学（青岛版）

章末整合提升 考点一　平行四边形的性质与判定 平行四边形的性质包括边的 位 置 关 系 和 数 量 关 系、角 的 数 量 关 系、对 角 线 的 数 量 关 系 等,这 些 结 论 是进行线段和 角 度 计 算 与 证 明 的 重 要 依 据;而 平 行 四边形的判定 多 与 性 质 互 为 逆 定 理,且 判 定 方 法 较 多,在应用时一定要根据已知的“暗 示”灵 活 选 择,并 注意不要与性质混淆． 图６Ｇ１ 例 １ 如 图 ６Ｇ１ 所 示．在 ▱ABCD 中,AE ⊥BC, CF ⊥AD,DN＝BM．求 证:EF 与 MN 互相平分． 图６Ｇ２ 证明:如图 ６Ｇ２,连接 ME, EN ,NF,FM ． 因为四边形ABCD 是平 行四边形, 所 以 AD ∥BC,AB ＝ CD,∠B＝∠D． 又因为 AE⊥BC,CF⊥AD, 所以 AE＝CF． 在 Rt△ABE 和 Rt△CDF 中, AE＝CF,AB＝CD, 所以 Rt△ABE≌Rt△CDF(HL), 所以BE＝DF． 在△BEM 与 △DFN 中,BE ＝DF,∠B ＝ ∠D, BM ＝DN , 所以△BEM ≌△DFN(SAS),所以 ME＝NF． 所以 AB－BM ＝CD－DN ,即 AM ＝CN． 因为 AD＝BC,∠BAD＝∠DCB． 所以 AD－DF＝BC－BE,即 AF＝CE． 在 △AMF 与 △CNE 中,AM ＝CN ,∠MAF ＝ ∠NCE,AF＝CE, 所以△AMF≌△CNE,所以 MF＝NE． 在四边形 MENF 中,ME＝FN ,MF＝NE, 所以四边形 MENF 是平行四边形(两组对边分别 相等的四边形是平行四边形), 所以 EF 与 MN 互相平分(平行四边形的对角线 互相平分)． >� 平行四边 形 的 性 质、平 行 四 边 形 的 判 定 及 全等三角形的判定与性质经常相互结合．给出平 行四边形 的 条 件,根 据 平 行 四 边 形 的 性 质 可 得 互相平行的直线和 相 等 的 线 段、相 等 的 角,结 合 其他条件 可 构 造 全 等 三 角 形,运 用 全 等 三 角 形 的性质可 判 断 另 一 个 四 边 形 的 边、角 或 对 角 线 之间的关系,根据所 得 关 系,选 择 合 适 的 判 定 方 法可判定 该 四 边 形 是 平 行 四 边 形,判 断 出 四 边 形是平行 四 边 形 后,还 可 继 续 利 用 平 行 四 边 形 的性质解决问题． 考点二　特殊平行四边形 矩形、菱形、正 方 形 都 是 特 殊 的 平 行 四 边 形,它 们的性质和判定主要从边、角、对 角 线 三 个 方 面 进 行 总结,它们各自 特 有 的 性 质 可 以 为 证 明 有 关 线 段 相 等、角相等、直线平行与垂直等 问 题 提 供 新 的 思 路 和 方法． 图６Ｇ３ 例２ 如 图 ６Ｇ３,在 矩 形 ABCD 中,M ,N 分别是AD,BC 的 中点,P,Q 分 别 是BM ,DN 的中点． (１)求证:△MBA≌△NDC; (２)判断四边形 MPNQ 是什 么样的特殊四边形,并说明理由． (１)证明:因为四边形 ABCD 是矩形, 所以 AB＝CD,AD＝BC,∠A＝∠C＝９０°． 因为在矩 形 ABCD 中,M ,N 分 别 是 AD,BC 的 中点, 所以 AM ＝DM ＝ １ ２ AD,CN ＝BN ＝ １ ２ BC, 所以 AM ＝DM ＝CN ＝BN． 在△MAB 和△NDC 中, AB＝CD, ∠A＝∠C＝９０°, AM ＝CN , { 所以△MBA≌△NDC(SAS)． 图６Ｇ４ (２)解:四边形 MPNQ 是菱形． 理由如下: 如图６Ｇ４,连接 MN． 因为四 边 形 ABCD 为 矩 形, 所以 AD∥CB． ４４ 所以 AM ∥BN ,MD∥CN ,MD∥BN． 又因为 AM ＝DM ＝CN ＝BN ,∠MAB＝ ∠C＝ ９０°,所以四边 形 AMNB,MDCN 是 矩 形,四 边 形 MDNB 是平行四边形． 所以∠BNM ＝∠DMN ＝９０°,MB＝DN． 又因为P,Q 分别是BM ,DN 的中点, 所以 NP＝MP＝ １ ２ MB,MQ＝NQ＝ １ ２ DN． 所以 MP＝PN ＝NQ＝MQ, 所以四边形 MPNQ 是菱形． �" 矩形和菱 形 是 两 种 特 殊 的 平 行 四 边 形,本 题将这两 种 图 形 有 机 地 结 合 在 一 起,既 考 查 了 矩形的性质,又 考 查 了 菱 形 的 判 定 方 法．掌 握 相 关图形的性质及判定方法是解题关键． 图６Ｇ５ 例３已 知:如 图 ６Ｇ５,四 边 形 ABCD 为 正 方 形,对 角线 AC,BD 相交于点 O,BF ∥