专题训练(一) 利用旋转的性质进行计算或证明-2020-2021学年九年级下册初三数学【黄冈100分闯关】沪科版（教用）

专题训练(一)　利用旋转的性质进行计算或证明 类型一　利用旋转的性质进行计算 １．如图,把边长为３的正方形 ABCD 绕点A 顺时针旋 转４５°得到正方形AB′C′D′,边BC 与D′C′交于点O, 则四边形 ABOD′的周长是(A ) A．６ ２ B．６ C．３ ２ D．３＋３ ２ 第１题图 　　　 第２题图 ２．如图,菱形OABC 的顶点O 在坐标原点,顶点 A 在x 轴上,∠B＝１２０°,OA＝２,将菱形 OABC 绕原点顺时 针旋 转 １０５°至 OA′B′C′的 位 置,则 点 B′的 坐 标 为 (A ) A．(２,－ ２) B．(－ ２,２) C．(２,－２) D．(３,－ ３) ３．如 图,在 Rt△ABC 中,∠ACB ＝９０°,∠ABC ＝３０°, AC＝２,△ABC 绕 点C 顺 时 针 旋 转 得 △A１B１C,当 A１ 落在 AB 边上时,连接B１B,取BB１ 的中点 D,连 接 A１D,则 A１D 的长度是(A ) A．７ B．２ ２ C．３ D．２ ３ 第３题图 　　　 第４题图 ４．如 图,在 Rt△ABC 中,∠B ＝９０°,AB ＝BC ＝２,将 △ABC 绕点C 顺时针旋转 ６０°,得到 △DEC,则 AE 的长是 　 ２＋ ６　． ５．如 图,在 △ABC 中,AB ＝ BC,将 △ABC 绕 点B 顺 时 针旋转α 度,得到△A１BC１, A１B 交AC 于点E,A１C１分 别交 AC,BC 于点D,F,下列结论:①∠CDF＝α 度; ②A１E＝CF;③DF ＝FC;④BE ＝BF．其 中 正 确 的 有　①②④　．(只填序号) ６．如图,在△ABC 中,AB＝AC,把△ABC 绕A 点沿顺 时针方向旋转得到△ADE,连接BD,CE 交于点F． (１)求证:△AEC≌△ADB; (２)若 AB＝２,∠BAC＝４５°,当四边形 ADFC 是菱形 时,求BF 的长． 解:(１)证明:由 旋 转 的 性 质,得 △ABC≌ △ADE,且 AB＝AC, ∴AE ＝AD,AC ＝AB, ∠BAC ＝ ∠DAE, ∴∠BAC ＋ ∠BAE ＝ ∠DAE ＋ ∠BAE, 即 ∠CAE ＝ ∠DAB, 在 △AEC 和 △ADB 中, AE＝AD, ∠CAE＝∠BAD, AC＝AB, ì î í ï ï ïï ∴△AEC≌△ADB(SAS) (２) ∵ 四 边 形 ADFC 是 菱 形, 且 ∠BAC ＝４５°, ∴ ∠DBA＝∠BAC＝４５°,由(１)得,AB＝AD,∴∠DBA ＝∠BDA＝４５°,∴△ABD 为直角边为 ２ 的 等 腰 直 角 三角形,∴BD２ ＝２AB２, 即BD＝２ ２,∴AD ＝DF＝ FC＝AC＝AB＝２,∴BF＝BD－DF＝２ ２－２ ７．如图,将 矩 形 ABCD 绕 点 A 顺 时 针 旋 转,得 到 矩 形 AB′C′D′,点 C 的 对 应 点C′恰 好 落 在CB 的 延 长 线 上,边 AB 交边C′D′于点E． (１)求证:BC＝BC′; (２)若 AB＝２,BC＝１,求 AE 的长． 解:(１)证明:如图所示,连接 AC,AC′, ∵ 四 边 形 ABCD 为矩 形, ∴ ∠ABC ＝９０°, 即 AB ⊥CC′, ∵ 将 矩 形ABCD 绕点A 顺时针旋转,得到 矩 形AB′C′D′,∴AC＝AC′,∴BC＝BC′ (２) ∵ 四 边 形 ABCD 为 矩 形, ∴AD ＝BC, ∠D ＝ ∠ABC′＝９０°,∵BC＝BC′,将 矩 形 ABCD 绕 点A 顺 时针旋转,得到矩形 AB′C′D′,∴AD＝AD′,∴BC′＝ AD′,在△AD′E 与△C′BE 中, ∠D′＝∠ABC′, ∠AED′＝∠BEC′, AD′＝BC′, ì î í ï ï ïï ∴△AD′E≌△C′BE,∴BE＝D′E,设AE＝x,则D′E ＝２－x,在 Rt△AD′E 中,∠D′＝９０°,由勾股定理,得 x２－(２－x)２＝１２,解得x＝ ５ ４ ,∴AE＝ ５ ４ ７ 类型二　利用旋转的性质进行证明 ８．某校九年级学习小组在探究学习过程中,用两块完全 相同的且含６０°角的直角三角板ABC 与AFE 按如图 ①所示位置放置,现将 Rt△AEF 绕A 点按逆时针方 向旋转角α(０°＜α＜９０°),如图 ②,AE 与BC 交于点 M ,AC 与EF 交于点N ,BC 与EF 交于点P． (１)求证:AM ＝AN ; (２)当旋转角α＝３０°时,四边形 ABPF 是什么样的特 殊四边形? 请说明理由． 　 解:(１)证明:由题意可得AB＝AF,∠BAM ＝∠FAN, ∠B＝∠F,∴△ABM ≌△AFN(ASA),∴AM ＝AN (２)当旋转角α＝３０°时,四边形 ABPF 是菱