专题03 等差数列的通项公式与前n项的和（重难点突破）-【教育机构专用】2021年春季高二数学辅导讲义(新教材人教A版2019)

专题03 等差数列的通项公式与前n项的和 一、考情分析 二、经验分享 1.等差数列的定义--------（证明或判断等差数列） ①或② 2．等差数列的通项公式： 或 3．等差数列的前和： ， 4、等差中项： ⑴若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。 ⑵当时,则有 三、题型分析 (一) 累加法求数列的前n项和 例1．（2021·全国高二课时练习）已知等差数列的前项和为，若则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据等差数列下标和性质及前项和公式计算可得； 【详解】 解：因为等差数列的前项和为， 所以，所以，所以 故选：A 【变式训练1】．（2013新课标Ⅰ）设等差数列的前n项和为，＝－2，＝0，＝3， 则＝（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】有题意知==0，∴==（）=2， = =3，∴公差==1，∴3==，∴=5，故选C. 例2．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学试题】在数列中，，则的值为______． 【答案】1 【解析】因为 所以， , , 各式相加，可得 ， ， 所以，，故答案为1. 【名师点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列；（3）将递推关系变形，利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解. 【变式训练1】．在数列中，若，，则的值（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，数列中，若，， 则， ∴， ∴，故选A． (二) 已知数列的前n项和求其通项公式 例3．数列的前项和为，若，则的值为（ ） A．2 B．3 C．2017 D．3033 【答案】A 【解析】，故选A． 例4．已知数列的前项和为，且，则___________． 【答案】 【解析】数列的前项和为，且， ，两式想减得到． 【变式训练1】在数列中，，，则的通项公式为_________． 【答案】． 【解析】∵当时，， ， 整理可得：，， 为公差为2的等差数列，， ，． 【变式训练2】已知各项均为正数的数列的前项和为，且． （1）求； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由题意得，两式作差得， 又数列各项均为正数，∴，即， 当时，有，得，则， 故数列为首项为2公差为2的等差数列，∴． （2）， ∴． (三) 等差数列的综合性质 例5.（1）（2018福建漳州三模）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为，则，， 解得，，所以.故选B. （2）（2021·全国高二课时练习）（多选题）已知递减的等差数列的前项和为，，则（ ） A． B．最大 C． D． 【答案】ABD 【分析】 根据项的正负可判断AB，利用前项和与通项的关系可判断CD. 【详解】 因为，故，所以， 因为等差数列为递减数列，故公差， 所以，故AB正确. 又，，故C错误，D正确. 故选：ABD. 【变式训练1】．（2021·江苏常州市·高二期末）（多选题）设等差数列的前n项和为，公差为d，已知，，，则下列结论正确的有（ ） A． B． C．d可以取负整数 D．对任意，有 【答案】BD 【分析】 利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可判断出结论． 【详解】 因为， 所以， 即 所以， 由得， 联立可解得 ， 故等差数列是单调递减的，且， 所以对任意，有 综上可知BD正确， 故选：BD 【点睛】 关键点点睛：由，解得，是求解本题的关键所在，由此结合条件求出的范围，判断数列的单调性，求出，属于中档题. 【变式训练2】．【2019年高考北京卷理数】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则 a5=__________，Sn的最小值为__________． 【答案】 0，. 【解析】等差数列中,,得又,所以公差,, 由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为. 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查. 【变式训练3】．（2021·江苏南通市·海门市第一中学高三期末）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩.《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”.其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速