专题06 帮你做好“两边一对角”问题-2020-2021学年高中数学之平面向量解题技法全指导

专题06 帮你做好“两边一对角”问题 在遇到解三角形中的两边一对角问题时，一要注意结果往往有两种可能，一解或两节；要注意解法有两种，根据正弦定理或余弦定理，根据题目特点注意选择使用。 例1. 在⊿ABC中，，求B及c。 例2. △ABC的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知a=，c=2，cos A=，则b=(　　) A.　　 B.　　 C.2　　 D.3 例3.已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E是边BC上一点，线段DE交AC于点F. (1) 若△CDE的面积为，求DE的长.(2)若CF=4DF，求sin∠DFC. 小试牛刀 1．在钝角三角形ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则角A的大小为(　　) A．120° B．45° C．30° D．15° 2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c＝，b＝，B＝120°，则a等于(　　) A. B．2 C. D. 3.在△ABC中，已知∠B=45°，,则∠A等于( ) A.15° B.75° C.105° D.75°或15° 4．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 5.（多选题）在△ABC中，a=15，b=20，A=30°，则cos B= (　　) A.- B. C.- D. 6．在△ABC中，已知a＝2，b＝2，A＝60°，则B＝________. 7．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sinB＝________. 8.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=，b=2，A=60°，则sin B=________，c=________.  ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 专题06 帮你做好“两边一对角”问题 在遇到解三角形中的两边一对角问题时，一要注意结果往往有两种可能，一解或两节；要注意解法有两种，根据正弦定理或余弦定理，根据题目特点注意选择使用。 例1. 在⊿ABC中，，求B及c。 分析1：可利用正弦定理。 解法1：由正弦定理得。，∴B有两解 。∴当时，。当时， 。 点评1：注意对解的情形的判断，不要失掉一种情形。判断解的情形可根据大边对大角，或根据三角形的内角和定理。 分析2：可利用余弦定理。 解法2：由余弦定理得，化简得， 解得或。当时，， .当时，，. 点评2.通过余弦定理得到关于c的方程，用到了方程思想。 例2. △ABC的内角A，B，C的对边分別为a，b，c，已知a=，c=2，cos A=，则b=(　　) A.　　 B.　　 C.2　　 D.3 解法1（利用正弦定理）：由cos A=，。由正弦定理得 。. ， 。故选D. 解法2（利用余弦定理）由余弦定理得4+b2-2×2bcos A=5，整理得3b2-8b-3=0，解得b=3或b=-(舍) 点评：显然解法2比解法1要简捷的多。在解决两边一对角问题时，当出现非特殊角时，用余弦定理比用正弦定理要简便些；都是特殊角时，两种解法繁简程度差不多，相对用正弦定理要简单些。 例3.已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，E是边BC上一点，线段DE交AC于点F. (1) 若△CDE的面积为，求DE的长.(2)若CF=4DF，求sin∠DFC. 解：(1)依题意，得∠BCD=∠DAB=60°.因为△CDE的面积S=CD·CE·sin∠BCD=， 所以×2CE·=，解得CE=1.在△CDE中，由余弦定理得 . (2)方法一（利用正弦定理）：在△CDF中，∠ACD=30°，设∠CDF=θ，则0°<θ<60°. 由正弦定理得=，因为CF=4DF，所以sin θ==， 所以cos θ=，所以sin∠DFC=sin(30°+θ)=×+×=. 方法二（利用余弦定理）：连接BD.依题意，得∠ACD=30°，∠BDC=60°，设∠CDE=θ，则0°<θ<60°，设CF=4x，因为CF=4DF，则DF=x，在△CDF中，由余弦定理， 得DF2=CD2+CF2-2CD·CFcos∠ACD，即7x2=4+16x2-8x，解得x=，或x=. 又因为CF≤AC=，所以x≤，所以x=，所以DF=， 在△CDF中，由正弦定理得=，所以sin∠