专题05 解决三角形问题的法宝——化归思想-2020-2021学年高中数学之平面向量解题技法全指导

专题05 解决三角形问题的法宝——化归思想 在解三角形的题目时，一般有两种思路，一个思路是化归到边，另一个思路时化归到角。注意了转化与化归思想，解三角形问题一般都能能很快地得到解决。 1.化归到边 例1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA＋csinC－asinC＝bsinB.求B. 变式.在△ABC中，若＝＝，试判断三角形的形状． 2.化归到角 例2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝. 求角A的大小；[来源:学。科。网Z。X。X。K] 变式：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB. （1）求角B的大小； （2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值. 以上就是我在解三角形题目时的一些心得体会，希望对读者能有较大帮助。 小试牛刀 1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(b－c)cosA＝acosC，则cosA＝________. 2．在△ABC中，若(a－acosB)sinB＝(b－ccosC)sinA，则这个三角形是(　　) A．底角不等于45°的等腰三角形 B．锐角不等于45°的直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 3．在△ABC中，cos2＝(a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．正三角形 4．设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝2bsinA. (1)求B的大小．(2)若a＝3，c＝5，求b. 5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，并且sin2＝. (1)试判断△ABC的形状并加以证明；(2)当c＝1时，求△ABC周长的最大值． 6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB. (1)求B；(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值． 7.已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab且2cosAsinB＝sinC，试判断此三角形的形状． 8. △ABC的内角所对的边分别为，已知，且为钝角. （1）证明：；（2）若，求角. 9.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝a. (1)求； (2)若c2＝b2＋a2，求B. 10．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC. (1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 专题05 解决三角形问题的法宝——化归思想 在解三角形的题目时，一般有两种思路，一个思路是化归到边，另一个思路时化归到角。注意了转化与化归思想，解三角形问题一般都能能很快地得到解决。 1.化归到边 例1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA＋csinC－asinC＝bsinB.求B. 分析：已知等式中既有边也有角，可考虑将等式化归到边。 解：由正弦定理得a2＋c2－ac＝b2，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，故cosB＝，因此B＝45°. 点评：当等式既有边也有角时，往往需要先化归到边或角，有时只能一个方向可以，有时两个方向都可以。 变式.在△ABC中，若＝＝，试判断三角形的形状． 分析：已知等式中既有边也有角，可考虑将等式化归到边。 解：＝，， 或，又＝，∴。所以三角形为直角三角形。 点评：本题上述解法要注意将化归到边的等式分解因式；本题还可以化归到角。 2.化归到角 例2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝. 求角A的大小；[来源:学。科。网Z。X。X。K] 分析1：已知等式中既有边也有角，可考虑将等式化归到角。 解法1：因为＝，所以(2c－b)·cos A＝a·cos B.由正弦定理，得(2sin C－sin B)·cos A＝sin A·cos B，整理得2sin C·cos A－sin B·cos A＝sin A·cos B，所以2sin C·cos A＝sin(A＋B)＝sin C.在△ABC中，sin C≠0，所以cos A＝，A＝. 分析2：用余弦定理化归到边。 解法2：因为＝，所以 所以cos A＝，A＝. 变式：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB. （1）求角B的大小； （2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值. 解：⑴，由正弦定理可得,即得 . ⑵，由正弦定