专题02 求平面向量数量积的方法大全-2020-2021学年高中数学之平面向量解题技法全指导

专题02 求平面向量数量积的方法大全 平面向量数量积运算是四种运算中应用最多的，也是较复杂的，因此我们应该注意求数量积的方法。方法一般可以归纳为定义法、基底法、建系法三种，先结合实例阐述如下： 1、 定义法 直接由数量积的定义求出数量积，数量积的定义有坐标形式和非坐标形式两种，非坐标形式为，坐标形式为。 例1．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b； 变式.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，求·. 例2．已知向量a＝(1,3)，b＝(2，－2)． (1)设c＝2a＋b，求(b－a)·c；(2)求向量a在b方向上的投影． 变式.已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则点P的坐标是(　　) A．(－3,0) B．(2,0) C．(3,0) D．(4,0) 二、基底法 例3. 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________． 变式. 在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，AD＝3，CD＝2，＝2，如果·＝－3，则·＝________． 三、建系法 例4.如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，＝1，则·＝________ 变式. 在△ABC中，∠A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，·＝－2，则λ的值为__________. 四、投影法、利用平方差公式等 例5．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·的值为________，·的最大值为________． 变式. 点O是⊿ABC的外心，,则( ) A. B. C.8 D. 变式. 如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若·＝－7，则·的值是________． 小试牛刀 1．已知在平行四边形ABCD中，＝(1,2)，＝(－3，2)，则·＝________. 2．若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________. 3．在直角三角形ABC中，已知＝(2,3)，＝(1，k)，则k的值为________． 4. 在△ABC中，若AB＝5，AC＝12，＝，则的值为________． 5. 已知点O为△ABC的重心，且OA⊥OB，AB＝4，则·的值为________． 6. 如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上一点，且＝.若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则·的值是________． 7. 已知三个平面向量，，满足||＝1，||＝2，||＝，E是BC的中点，若点D满足＝2，则·＝________． 8. 已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是________． 9. 在△ABC中，已知·＋2·＝3·，则cos C的最小值是________． 10. 已知△ABC是等边三角形，有一点D满足＋＝，且＝，那么·＝________． 11. 如图，在△AB1B8中，已知∠B1AB8＝，AB1＝6，AB8＝4，点B2，B3，B4，B5，B6，B7分别为边B1B8的七等分点，则当i＋j＝9(1≤i≤8)时，·的最大值为________． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 专题02 求平面向量数量积的方法大全 平面向量数量积运算是四种运算中应用最多的，也是较复杂的，因此我们应该注意求数量积的方法。方法一般可以归纳为定义法、基底法、建系法三种，先结合实例阐述如下： 1、 定义法 直接由数量积的定义求出数量积，数量积的定义有坐标形式和非坐标形式两种，非坐标形式为，坐标形式为。 例1．已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b； 解：(1)①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°，∴a·b＝|a||b|cos0°＝3×6×1＝18. 若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，∴a·b＝|a||b|cos180°＝3×6×(－1)＝－18. ②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，∴a·b＝0. ③当a与b的夹角是60°时，有a·b＝|a||b|cos60°＝3×6×＝9. 变式.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，求·. 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，故BC＝3，且cos∠ABC＝， 与的夹角θ＝180°－∠ABC，∴·＝－||||cos∠ABC＝－5×3×＝－9. 例2．已知向量a＝(1,3)，b＝(2，－2)． (1)设c＝2a＋b，求(b－a)·c；(2)求向量a在b方向上的投影．