专题01 平面向量中的解题妙招-2020-2021学年高中数学之平面向量解题技法全指导

专题01 平面向量中的解题妙招 在向量中有不少常规重要题目的解题妙招，我们应该注意收集整理，这样可以大大提高解题速度和正确率。现结合实例阐述如下： 一、利用“从原点出发的向量的坐标等于终点的坐标”求点的坐标 例1.已知且点P在的延长线上，,求P点的坐标。 变式.已知点，求平行四边形ABCD的第四个顶点的点D的坐标. 二、利用三个向量和的完全平方求数量积的和 例2.已知⊿ABC的三边长均为1，且，求的值。 变式。已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，求·＋·＋·的值． 三、利用共线向量定理求向量的坐标 例3.已知的坐标。 变式。已知a是以点A(3,-1)为起点，且与向量b= (-3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是　　　　　　　　　　. 四、灵活运用向量的坐标形式和非坐标形式解题 向量的许多内容（如数量积、平行、垂直、求长度、求角度等）都有坐标形式和非坐标形式两种，在解题过程中只有灵活地选用它们，才能解题既快又准。现举例阐述如下： 例4．设向量a＝，b＝(cosβ，sinβ)，其中0<<β<π，若|2a＋b|＝|a－2b|，则β－等于(　　) A. B．－ C. D．－ 变式 平面向量，若存在不同时为的实数和使 且，试求函数关系式。 以上是我在向量教学中的一些心得，希望大家批评指正！ 小试牛刀 1.已知,求线段AB的中点M及三等分点P,Q(P离A较近)的坐标. 2.已知,P在直线上,且.求P点坐标. 3.已知是同一平面内的三个向量，其中. ⑴若∥,求的坐标; ⑵若垂直,求的夹角. 4.已知. ⑴用k表示； ⑵求的最小值，并求此时与夹角的大小. ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 专题01 平面向量中的解题妙招 在向量中有不少常规重要题目的解题妙招，我们应该注意收集整理，这样可以大大提高解题速度和正确率。现结合实例阐述如下： 一、利用“从原点出发的向量的坐标等于终点的坐标”求点的坐标 例1.已知且点P在的延长线上，,求P点的坐标。 分析1：利用“从原点出发的向量的坐标等于终点的坐标”求点P的坐标。 解法1：∵点P在的延长线上，,∴。 , 即. 点评1：利用“从原点出发的向量的坐标等于终点的坐标”求点的坐标，简单易行。 分析2：由向量模的关系得到向量之间的关系后，设点P的坐标为，得到的方程组，进而求出点P的坐标。 解法2：∵点P在的延长线上，,∴。设点P的坐标为， 则。即。 点评2：本解法用到了方程组思想，具有一般性，但比解法1麻烦些，因此遇到类似问题我们要尽量用解法1. 变式.已知点，求平行四边形ABCD的第四个顶点的点D的坐标. 解法1:设D的坐标为,因为是平行四边形ABCD,则， 得,即， 点D的坐标为. 解法2：因为是平行四边形ABCD,则， .即点D的坐标为. 二、利用三个向量和的完全平方求数量积的和 例2.已知⊿ABC的三边长均为1，且，求的值。 分析1：由已知得，又由所求的特点，想到利用三个向量和的完全平方公式求数量积的和。 解法1：由已知得，， 。 点评1：本解法具有一般性，不知道向量的夹角时也可以做。 分析2：直接利用数量积的定义，将三个数量积分别求出，然后求和。 解法2：依题可知与的夹角为，。同理， 故。 点评2：本解法为一般解法，但要注意两向量间的夹角为，而不是。 变式。已知平面上三点A，B，C满足||＝3，||＝4，||＝5，求·＋·＋·的值． 解法1：由题意知△ABC为直角三角形，⊥，∴·＝0，cos∠BAC＝，cos∠BCA＝，∴和夹角的余弦值为－，和夹角的余弦值为－，∴·＋·＋· ＝20×＋15×＝－25. 解法2：∵||2＋||2＝||2，∴⊥，即·＝0， ∴·＋·＋·＝(＋)＝·＝－2＝－25. 解法3：, ,,. 三、利用共线向量定理求向量的坐标 例3.已知的坐标。 分析1：利用共线向量定理设出向量。 解法1：。由得，， 。。 点评1：解法1利用共线向量设出向量，避免了解方程组，因此比解1要简便得多。 分析2：设，解关于x,y的方程组。 解法2：设，由得，。 。解方程组，得。 。 点评2：解法2用了方程组思想，想法非常自然，是一般解法，但在解方程组时有些繁琐。 变式。已知a是以点A(3,-1)为起点，且与向量b= (-3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是　　　　　　　　　　. 解法1 ：设向量a的终点坐标是(x,y),则a=(x-3,y+1)，则题意可知 ，故填 (,-)或(,-) 解法2：与向量b= (-3,4)平行的单位向量是±(-3,4)，故可得a＝±(-,)，从而