第一章第 1 课时 任意角-【聚焦新课程】高中数学优质课堂（人教版必修4）

1　　　　 第 1 课时 　 任意角 【三点导视】 重点:正、负、零角的定义,终边相同角的表示方法. 难点:终边相同角的表示及判断. 考点:(1)终边相同角的表示. (2)象限角与区间角的区别. 【要点导学】 1. 规定　 按逆时针方向旋转形成的角　 叫做正角,　 按顺时针方向旋转形成的角　 叫做负角;如果一 条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 2. 所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集合　 S = {β | β = α+k·360°,k∈Z}　 . 【精题导析】 例 1　 若角 α 的终边与-40°角的终边互相垂直,求角 α. [思路分析]　 先在-180° ~ 180°的范围内写出与-40°终边互相垂直的角,然后写出与其终边相同的角. [随堂热身] 解:因为角 α 的终边与-40°角的终边互相垂直,所以角 α 的终边与- 40° + 90° 角的终边相同或与- 40° - 90°的终边相同. 因此 α = -40° +90° +k·360°或-40° -90° +k·360°(k∈Z),即 α = -40° +(4k+1)·90°或 α = - 40° +(4k-1)·90°(k∈Z),即 α = -40° +(2k+1)·90°(k∈Z) [思考领悟]　 与-40°角的终边垂直的角的终边有两个,在写出与 α 的终边相同的角后,对于( 4k+ 1) · 90°,( 4k-1) ·90°可以观察发现,它实质上是 90°的奇数倍. 2　　　　 例 2　 集合 A = {α | α = 60° +k·360°,k∈Z} ,B = {β | β = 60° +k·720°,k∈Z} ,C = {γ | γ = 60° +k·180°,k∈ Z} ,那么集合 A、B、C 的关系是　 B⫋A⫋C　 . [思路分析]　 (1)A、B、C 中都含有与 60°终边相同的角. (2)C 中含有与 60°终边不相同的角. (3)B 中 的角 β = 60° +2k·360°的形式,易知 B⊆A. [过程互动]　 ∵ B = {β | β = 60° +2k·360°,k∈Z} ∴ B　 ⫋　 A 对于角 γ,当 k 为偶数,即 k = 2n(n∈Z) 时,γ = 60° +360°n(n∈Z). 当 k 为奇数,即 k = 2n+1(n∈Z) 时,γ = 　 240°　 +n·360°(n∈Z) 所以集合 C 中的角不但表示所有与 60°角的终边相同的角,还含有与　 240°　 终边相同的角. 故 B　 ⫋　 A　 ⫋　 C. [思考领悟]　 ( 1) 认真观察 A、B、C 三个集合的特征,以及对集合作适当的等价变形. ( 2) 对集合中的 k 分奇偶讨论,再来类比集合的特征,从中发现集合 C 中有与 60°和 240°终边相同的角. 【探究导引】 图 1-1 例 3　 [问题提出]　 如图 1-1,点 A 在半径为 1 且圆心在原点的圆上,且 ∠AOx = 45°,点 P 从点 A 出发,依逆时针方向等速地沿单位圆周旋转. [合作探究]　 已知 P 每秒钟转过的角度为 θ( 0° <θ< 180°) ,经过 2 秒钟 到达第三象限,经过 14 秒钟又回到出发点 A,求 θ. 解:14 秒钟后 P 在角 14θ+45°的终边上,由此可得到等量关系,14θ+45° = k·360° +45°(k∈Z) θ = k·180° 7 (k∈Z) 又 180° <2θ+45° <270°,67. 5° <θ<112. 5° 67. 5° < k·180° 7 <112. 5°且 k∈Z ∴ k = 3 或 k = 4 故所求的 θ 值为 θ = 540° 7 或 θ = 720° 7 [发现问题]　 ( ( 1) 如果题中点 P 从点 A 出发,顺时针方向等速地沿单位圆周旋转呢? ( 2) 如果题中转 过的角度 θ 的范围要求在-180° <θ<0°呢?) 【方法导拨】 1. 从角的始边、顶点、终边出发,准确判断正角、负角和零角. 2. 角相同则角终边相同;角的终边相同,则角不一定相同. 终边相同的角有无数个. 3　　　　 3. 区间角、象限角和坐标轴上的角的区别和联系,象限角是不含坐标轴上的角. $