第一章第 2 课时 弧度制-【聚焦新课程】高中数学优质课堂（人教版必修4）

4　　　　 第 2 课时 　 弧度制 【三点导视】 重点:弧度是一种度量角的单位. 难点:弧度与角度的转化. 考点:(1)了解 1 弧度的含义. (2)用弧度表示终边相同的角. (3)用弧度表示弧长与扇形的面积. 【要点导学】 1. 角可以用度为单位进行度量,1 度的角等于圆周的　 1 360 　 . 用度作为单位来度量角的单位制叫做 　 角度制　 ,为了使用方便,数学上还采用另一种度量角的单位制———　 弧度制　 . 2. 把　 长度等于半径长的弧　 所对的圆心角叫做 1 弧度,用符号　 rad　 表示,读作　 弧度　 . 3. 正角的弧度数是　 正　 ( 填正、负、零) 数,负角的弧度数是　 负　 ( 填正、负、零) 数,零角的弧度数是 　 0　 ( 填正、负、零) 数. 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对的弧长为 l,那么,角 α 的弧度数的绝对值是　 | a | = l r 　 . 一般地,只要根据 180° = 　 π 　 rad, 1° = 　 π 180 　 rad ≈ 　 0. 01745 　 rad, 1rad = ( 　 ( 180 π )° 　 ) ≈ 　 57. 30°　 可以进行换算. 4. 角的概念推广后,在弧度制下,角的集合与实数集 R 之间建立起一一对应关系;每一个角都有　 惟一 的一个实数(即这个角的弧度数)　 与它对应;反过来,每个实数也都有　 惟一的一个角( 即弧度数等于这个 实数的角)　 与它对应. 【精题导析】 例 1　 把下列角化成 2kπ+α( 0≤α≤2π,k∈Z) 的形式,写出与它们终边相同的角的集合,并指出它是第 几象限的角. ( 1) - 46 3 π;　 　 ( 2) -1485°;　 　 ( 3) -20. [思路分析]　 把角度转化成弧度后,将每一个角写成 2kπ+α(0≤α≤2π,k∈Z)的形式,再分析 α 的终 边所位于的象限. [随堂热身] 解:(1) - 46 3 π = -8×2π+ 2 3 π,它是第二象限的角,终边相同角的集合为{α | α = 2kπ+ 2π 3 ,k∈Z} (2) - 1485° = - 5 × 360° + 315° = - 10π + 7 4 π, 它 是 第 四 象 限 的 角, 终 边 相 同 角 的 集 合 为 { α | α = 2kπ + 7 4 π,k∈Z} (3) -20 = -4×2π+(8π-20),而 3π 2 <80-2π<2π,∴ -20 是第四象限的角,与它终边相同的角的集合为{α 5　　　　 | α = 2kπ+(8π-20),k∈Z} [思考领悟]　 ( 1) 题设化成 2kπ+α(k∈Z) 的形式时,α∈[ 0,2π] 这一条件不可忽视. ( 2) 将-1485°写成 终边相同角时,度量角的方式要统一,也就是在同一个代数式中弧度制与角度制不同时出现. ( 3) - 20 = - 4 × 2π+( 8π-20) 的形式中,由 3 2 π<8π-20<2π 来确定 8π-20 的象限. 例 2　 已知扇形的面积为 16cm2 ,试求当扇形的半径和圆心角各取何值时,扇形的周长最小? [思路分析]　 (1)用弧长和半径表示扇形的面积. (2)用半径表示扇形的周长,寻求求最值的方法. [过程互动]　 设扇形的弧长为 l,半径为 r,则 S = 1 2 lr = 16. ∴ 扇形的周长 C = 2r+ 32 r = 2( 　 r - 4 r 　 ) 2 +16≥16. ∴ 当 r = 　 4　 时,圆心角 α = l r = 　 2　 . 故当扇形的半径为　 4　 cm,圆心角为　 2　 rad 时,周长有最小值 16cm. [思考领悟]　 ( 1) 本题以 r 为变量建立了扇形周长的函数关系,也可以建立 α 角的函数关系. ( 2) 使用 弧度数公式 | α | = l r 时,应注意 α 是弧度数,且三个量 l,r,α 中知道其中任意两个可求另外一个. ( 3) 在分析 扇形周长 C = 2r+ 32 r 的最小值时,也可借助形如 y = x+ 1 x 的图象来分析. 图 2-1 【探究导引】 例 3　 [问题提出] 　 如图 2 - 1,已知一长为 3 dm,宽为 1dm 的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚,第四次翻滚时被 一小木板挡住,使木块底面与桌面成 30°的角. [合作探究]　 ( 1) 点 A 走过的路程长是多少? ( 2) 点 A 走过的弧度所在扇形的总 面 积 是多少? 解:AA1 ( 、A1A2 ( 、A2A3 ( 所在圆的圆心分别为 B、C、D,半径分别为 2,1, 3 . 再利用弧长公式及扇形的面积公 式,求出路程的长和走过的弧所在扇形的总面积. AA1 ( 所在圆的半径是 2