第一章第 3 课时 任意角的三角函数(1)-【聚焦新课程】高中数学优质课堂（人教版必修4）

7　　　　 第 3 课时 　 任意角的三角函数(1) 【三点导视】 重点:任意角的三角函数的定义. 难点:任意角的三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值相等. 考点:(1)角终边上的一点的坐标定义三角函数的值. (2)三角函数的值在各象限符号的确定. 【要点导学】 1. 在直角坐标系中,称以原点 O 为原心,　 以单位长度　 为半径的圆为单位圆. 我们可以利用单位圆定 义任意角的三角函数,设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P( x,y) ,那么:( 1) y 叫做 α 的　 正弦 　 ,记作　 sinα　 ,即　 sinα = y　 ;( 2) x 叫做 α 的　 余弦　 ,记作　 cosα　 ,即　 cosα = x　 ;( 3) y x 叫做 α 的 　 正切　 ,记作　 tanα　 ,即　 tanx = y x 　 . 2. 根据任意角的三角函数的定义( 1) 正弦函数在　 Ⅰ、Ⅱ　 象限的符号为正,在　 Ⅲ、Ⅳ　 象限的符号 为负. ( 2) 余弦函数在　 Ⅰ、Ⅳ　 象限的符号为正,在　 Ⅱ、Ⅲ　 象限的符号为负. ( 3) 正切函数在　 Ⅰ、Ⅲ　 象限的符号为正,在　 Ⅱ、Ⅳ　 象限的符号为负. 【精题导析】 例 1　 角 α 的终边在直线 y = 2x 上,求 sinα,cosα,tanα 的值. [思路分析]　 直线在一、三象限,则 α 的终边将在第一象限或者第三象限,然后针对终边所在的位置, 在其上分别任取一点,根据三角函数的定义来求三角函数的值. [随堂热身] 解:(1)若 α 在第一象限,在其上任取一点 P( 1,2), | OP | = 5 ,则 sinα = y r = 2 5 = 2 5 5 ,cosα = x r = 5 5 , tanα = 2. (2)若 α 在第三象限,在其上任取点( -1,-2), | OP | = 5 ,则 sinα = - 2 5 5 ,cosα = - 5 5 ,tanα = 2. [思考领悟]　 任意角的三角函数的值,可以由任意角终边上的一点的坐标 x,y 及到坐标原点之间的距 离 r 来确定. 并且 x,y,r 三者中只要知道任意两个的关系,就可以确定三角函数的值. 8　　　　 例 2　 ( 1) 判断 tan4·cos2·sin( - 23 4 π) tan 16 3 π 的符号; ( 2) 求 sin2( - 23 6 π) +cos2( 25 6 π) +3 的值. [思路分析]　 (1)根据各角所在的象限,判断三角函数式的符号. (2)根据终边相同角的同一三角函数 值相等,转化为求 0 到 2π(或 0° ~ 360°)角的三角函数值. [过程互动]　 ( 1) ∵ π 2 <2<π,π<4< 3π 2 ,- 23 4 π = -6π+　 π 4 　 , 16 3 π = 　 4π　 + 4π 3 . ∴ 4,2, -23π 4 , 16 3 π 分别在第三,二,一,三象限. ∴ tan4　 >　 0,cos2　 <　 0,sin( - 23π 4 ) 　 >　 0,tan 16π 3 　 >　 0 ∴ tan4·cos2·sin( - 23 4 π) tan 16 3 π 　 <　 0 ( 2) 原式 = sin2( π 6 -4π) +cos2( π 6 +4π) +3 = sin2( 　 π 6 　 ) +cos2( 　 π 6 　 ) +3 = 　 2　 . [思考领悟] 　 把角的范围化为 0 到 2π 之间,然后准确判断角所在的象限及三角函数值所在象限 的符号. 【探究导引】 例 3　 [问题提出]　 已知 f(α) = sinα | sinα | + cosα | cosα | + tanα | tanα | . [合作探究]　 求 f(α) 的值. 解:当 α 是象限Ⅰ,f(α)= 3;当 α 是象限Ⅱ,f(α)= -1;当 α 是象限Ⅲ,f(α)= -1;当 α 是象限Ⅳ,f(α)= - 1. [发现问题]　 ( 题目条件中的等式关系实质上就是告诉了 α 的终边所在的象限. 如果在不等关系中,即 题设大于 0 或者小于 0,也可判断 α 的终边位于的位置. ) 【方法导拨】 1. 任意角的三角函数的值是由单位圆与角 α 终边的交点坐标来定义的,其值只与终边的位置有关,同 一条终边上不同的点确定的三角函数的值是惟一的. 2. 不同的角在不同的象限所对应的三角函数的值的符号也不一样,分清角的终边位于哪一象限或者在 9　　　　 哪一个坐标轴上十分重要. $