第一章第 4 课时 任意角的三角函数(2)-【聚焦新课程】高中数学优质课堂（人教版必修4）

10　　　 第 4 课时 　 任意角的三角函数(2) 【三点导视】 重点:三角函数线. 难点:三角函数线的应用. 考点:(1)求基本三角不等式的解. (2)求三角函数中的代数式的值. 图 4-1 【要点导学】 1. 如图 4-1,像 OM → 、MP → 这种　 带有方向　 的线段,叫有向线段. 2. 如图 4 - 1, 把 三 条 与 单 位 圆 有 关 的 有 向 线 段 　 MP → 　 、 　 OM → 　 、 　 AT → 　 ,分别叫做角 α 的正弦线、余弦线、正切线,统称为　 三角函数线　 . 【精题导析】 例 1　 已知 0<α< π 2 ,求证: ( 1) sinα+cosα>1; ( 2) sinα<α<tanα. [思路分析]　 建立坐标系,作出单位圆及正弦线、余弦线、正切线,在构造的三角形中,由三角形边与边 的关系证明题目的第 1 问. 第 2 问从面积的角度去思考. [随堂热身] 证明:如图,设 α 的终边交单位圆于 P,作 PM⊥x 轴,垂足为 M,过点 A(1,0)作 AT⊥x 轴,交 α 终边于 T, 则 sinα = MP,cosα = OM,tanα = AT (1)在△OMP 中　 ∵ OM+MP>OP ∴ cosα+sinα>1 (2)连 PA,则 S△OPA <S扇形OPA <S△OTA 即 1 2 ·OA·MP< 1 2 ·OA2·α< 1 2 OA·AT 即 sinα<α<tanα [思考领悟]　 ①三角函数线是角 α 的三角函数值的几何意义,数形结合是数学中解决数学问题的一种 重要的思想方法. ②当 α∈[ 0,2π] , | sinα | + | cosα | >1 能成立吗? 例 2　 已知点 P( sinα-cosα,tanα)在第一象限,则在[0,2π)内 α 的取值范围是( 　 　 ). A. ( π 2 , 3 4 π) ∪( π, 5 4 π) B. ( π 4 , π 2 ) ∪( π, 5 4 π) 11　　　 C. ( π 2 , 3π 4 ) ∪( 5π 4 , 3 2 π) D. ( π 4 , π 2 ) ∪( 3π 4 ,π) [思路分析]　 由 P 点的坐标在第一象限,分别求出满足横坐标大于 0 和纵坐标大于 0 时的角 α 的取值 范围,最后求在[0,2π)内 α 的交集. [过程互动]　 由题意得 sinα-cosα>0 tanα>0{ 　 ∴ sinα>cosα tanα>0{ ∴ 2kπ+　 π 4 　 <α<2kπ+　 π 2 　 或 2kπ+　 π　 <α<2kπ+　 5 4 π　 (k∈Z) 而 α∈[ 0,2π) ∴ α∈　 ( π 4 , π 2 )∪(π, 5 4 π)　 　 故选　 B　 . 　 [思考领悟]　 根据坐标在象限中的符号建立不等式组,同时还要利用三角函数线及 α∈[ 0,2π] 的限 制条件,或者在单位圆中找出满足 sinα>cosα 及 tanα>0 的区域来求解. 【探究导引】 例 3　 [问题提出]　 已知 α、β 是关于 x 的方程 x2 +2( cosθ+1)x+cos2θ = 0 的两根. [合作探究]　 是否存在 θ∈[ - π 4 , π 4 ] ,使得 | α-β | ≤2 2 ? 若存在,求出 θ 的集合;若不存在,请说明理由. 解:α,β 是关于 x 的方程 x2 +2(cosθ+1)x+cos2θ = 0 的两根 ∴ α+β = -2(cosθ+1),α·β = cos2θ ∴ | α-β | = (α+β) 2 -4αβ = 4(cosθ+1) 2 -4cos2θ ≤2 2 即 8cosθ+4 ≤2 2 ∴ cosθ≤ 1 2 由三角函数线知: π 3 +2kπ≤θ≤ 5π 3 +2kπ(k∈Z) ∴ 不存在 θ∈[ - π 4 , π 4 ]使得 | α-β | ≤2 2 . [发现问题]　 ( 这是一道探索性问题. 处理这样的问题应先根据条件求出 θ 的范围,再验证是否会有 θ ∈[ - π 4 , π 4 ]. 假设 θ∈( 0, π 2 ) ,该题中存在满足条件的 θ 吗?) 【方法导拨】 1. 三角函数线是三角函数值的一个几何表示,求三角函数式的大小及解三角不等式中,可以采用代数 法和几何法. 12　　　 2. 三角函数线是在单位圆中提出来的,解题时利用三角函数线结合单位圆是行之有效的好办法. $